Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MD=MA. Khi đoÁM=1/2AD. Nối DC.                                             Xét tam giác MAB&tam giác MDC                                                                                                             MA=MD (cách chọn D); MB=MD(gt); góc AMB= góc DMC ( đối đỉnh) . Do đó: tam giácMAB = tam giác MDC. Suy ra: gócMAB= MDC. Mà 2 góc này so le trong cho nên BA //DC . Mà BA vuông góc AC(gt) nên DC vuông góc AC.                                       

    Xét tam giác vuông ABC & tgv CDA có: AC- cạnh chung; AB= CD; . Do đó tgv ABC= tgv CDA( 2 cạnh góc vuông) . Suy ra: BC = AD. Mà AM=1/2AD . Do đó: AM=1/2BC

Kẻ đường cao AH

\(S_{ABM}=\dfrac{AH\cdot BM}{2}\)

\(S_{ACM}=\dfrac{AH\cdot CM}{2}\)

mà BM=CM

nên \(S_{ABM}=S_{ACM}\)

Đề bài sai, phản ví dụ:

Tam giác ABC vuông tại A với \(AB=1;AC=\sqrt{3};BC=2\)

Khi đó \(AM=\dfrac{1}{2}BC=1=AB\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Góc \(B=60^0;A=90^0\)

Khi đó: \(sinA=1\) trong khi \(2sin\left(B-A\right)=2sin\left(-30\right)=-1\)

Vẽ đường phụ rồi :)) bạn c.m 2 t/g vuông BEM và CDM => EM=MD

2AM=AD+AE(EM=MD)

mà AE<AB, AD<AC => 2AM < AB + AC =>..

Xét tam giác AEM có:

\(AM< AE+EM\)

\(AM< \frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC\)

\(AM< \frac{1}{2}\left(AB+AC\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(CE< \frac{1}{2}\left(AC+BC\right)\)

\(BN< \frac{1}{2}\left(AB+BC\right)\)

\(\Rightarrow AM+BN+CE< AB+AC+BC\left(đpcm\right)\)

P/s xong rồi nhé mình làm hơi tắt mong bạn thông cảm :)

hinh ve chi mang tinh chat minh hoa

ta có :AC=AM nen => tam giac ACM can => AH cũng la trung tuyến=>CH=HM
lai co : tanC=AH/HC
         tanB=AH/HB
ma hb=3hc ( hb=hm+bm=hm+hm+hc=3hc )
=>  tanC/tanB=HB/HC=3
=>tan C=3 tan B