Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel:

\(VT=\frac{1}{4a}+\frac{4}{4b}+\frac{4}{4c}\ge\frac{\left(1+2+2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{25}{4}\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{5};b=c=\frac{2}{5}\))

Ai muốn vào team tui không

Xin lỗi rất nhiều vì đã làm sai quy luật, nội quy ạ

Mong mọi người đừng chửi

Học Tốt

bài hơi khoai

Không mất tính tổng quát giả sử \(c=max\left\{a,b,c\right\}\)

\(\Rightarrow2c\ge a+b\)

\(\Rightarrow c\ge\frac{a+b}{2}\)

Từ giả thiết \(\Rightarrow a,b\le1\)

\(\Rightarrow ab\le1\)( *)

Đặt \(P=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{5}{2}\)

\(=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+\frac{1-ab}{a+b}}+\frac{1}{a+\frac{1-ab}{a+b}}-\frac{5}{2}\)

Đặt \(S=\frac{1}{a+b+\frac{1}{a+b}}+a+b+\frac{1}{a+b}-\frac{5}{2}\)

Xét hiệu \(P-S=\)\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+\frac{1-ab}{a+b}}+\frac{1}{a+\frac{1-ab}{a+b}}-\frac{5}{2}-\)\(-\frac{1}{a+b+\frac{1}{a+b}}-a-b-\frac{1}{a+b}+\frac{5}{2}\)

\(=\frac{1}{\frac{ab+b^2+1-ab}{a+b}}+\frac{1}{\frac{a^2+ab+1-ab}{a+b}}-\frac{1}{\frac{\left(a+\right)^2+1}{a+b}}-\left(a+b\right)\)

\(=\frac{a+b}{b^2+1}+\frac{a+b}{c^2+1}-\left(a+b\right)\left[1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\right]\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{a+b}{b^2+1}+\frac{a+b}{c^2+1}-\left(a+b\right)\left[1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b^2+1}+\frac{a+b}{c^2+1}\ge\left(a+b\right)\left[1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\right]\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2+\left(a+b\right)^2}{1+\left(a+b\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(2+b^2+a^2\right)\left[1+\left(a+b\right)^2\right]\ge\left[2+\left(a+b\right)^2\right]\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)+a^2+b^2\ge\left[2+\left(a+b\right)^2\right]\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)+a^2+b^2-2a^2b^2-\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)^2a^2b^2\)\(-2-2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2a^2b^2-\left(a+b\right)^2a^2b^2+a^2+b^2-\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left[ab\left(a+b\right)^2+2ab-2\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)^2+2ab-2\le0\)( do a,b \(\ge0\))

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)^2\le2\left(1-ab\right)\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)^2\le2c\left(a+b\right)\) (1)

Mà \(c\ge\frac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow2c\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge ab\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(1-ab\right)\ge0\)( đúng do (*) ) 

\(\Rightarrow\left(1\right)\)đúng

\(\Rightarrow P-S\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge S\)

Ta phải chứng minh \(S\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b+\frac{1}{a+b}}+a+b+\frac{1}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{1+\left(a+b\right)^2}+\frac{1+\left(a+b\right)^2}{a+b}\ge\frac{5}{2}\) (2) 

Đặt \(x=\frac{1+\left(a+b\right)^2}{a+b}\)

Ta có: \(1+\left(a+b\right)^2\ge2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-1\right)^2\ge0\)( đúng )

\(\Rightarrow x=\frac{1+\left(a+b\right)^2}{a+b}\ge2\)

=> (2) có dạng \(x+\frac{1}{x}\ge\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)( đúng )

\(\Rightarrow S\ge0\)mà \(P\ge S\)

\(\Rightarrow P\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=1\\ab+bc+ca=1\\ab\left[ab\left(a+b\right)^2+2ab-2\right]=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c=1;b=0\\b=c=1;a=0\end{cases}}\)

sửa một chút là cái dòng thứ 4 là từ giả thiết\(\Rightarrow0\le a,b\le1\)

a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
`A=1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`
Mà `a+b+c<=3/2`
`=>A>=9:3/2=6`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
b)Áp dụng BĐT cosi:
`a+1/(4a)>=1`
`b+1/(4b)>=1`
`c+1/(4c)>=1`
`=>a+b+c+1/(4a)+1/(4b)+1/(4c)>=3`
Ta có:
`1/a+1/b+1/c>=6`(Ở câu a)
`=>3/4(1/a+1/b+1/c)>=9/2`
`=>a+b+c+1/(a)+1/(b)+1/(c)>=3+9/2=15/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`

a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:

Mà 

Dấu "=" 
b)Áp dụng BĐT cosi:




Ta có:
(Ở câu a)


Dấu "=" 

https://olm.vn/hoi-dap/detail/239526218296.html

Sử dụng phân tích tuyệt vời của Ji Chen:

\(VT-VP=\frac{4\left(a+b+c-2\right)^2+abc+3\Sigma a\left(b+c-1\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

Hãy xem phương pháp Buffalo-Way giải quyết nó!

Viết BĐT lại thành: \(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^2\ge\frac{25}{4}\)

Giả sử \(a\ge b\ge c\) và đặt \(a=c+u+v,b=c+v\left(u,v\ge0\right)\). Sau khi quy đồng, bất đẳng thức trở thành:

128 c^6+4 u^5 v+19 u^4 v^2+30 u^3 v^3+15 u^2 v^4+c^5 (256 u+512 v)+c^4 (192 u^2+832 u v+832 v^2)+c^3 (96 u^3+528 u^2 v+1008 u v^2+672 v^3)+c^2 (40 u^4+224 u^3 v+488 u^2 v^2+528 u v^3+264 v^4)+c (8 u^5+60 u^4 v+152 u^3 v^2+168 u^2 v^3+100 u v^4+40 v^5) \(\ge0\) (hiển nhiên đúng)

P/s: Khúc cuối dài quá gõ công thức bị tràn hết màn hình nên đành gõ ngoài, thông cảm! Nhớ bài này có một cách dùng dồn biến mà nghĩ không ra.

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự : \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\) ; \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)

Cộng theo vế : \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

a) Chứng minh được BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(*)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có:

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right);\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)

b) áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\\\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\end{cases}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT ta có:

\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

a) 

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức

b)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\ge\frac{4}{m+n}\)

c)

Viết giả thiết lại thành \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)sau đó làm như câu a

EZ game

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Lại có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\Rightarrow ab+bc+ac\le3\)

Bất đẳng thức ban đầu tương đương với :

\(\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b^2+1\right)+b\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+1\right)}\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}a\left(b^2+1\right)\ge a.2\sqrt{b^2}=2ba\\b\left(c^2+1\right)\ge b.2\sqrt{c^2}=2cb\\c\left(a^2+1\right)\ge c.2\sqrt{a^2}=2ac\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà \(ab+bc+ca\le3\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM−GM với mẫu số vì bất đẳng thức sẽ đổi chiều

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)\(\le\)\(\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\ge\frac{3}{2}\)
Tuy nhiên, rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM−GMcho 2 số 1+b2≥2b ở dưới mẫu nhưng lại có được một bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược bất đẳng thức AM−GMAM−GM, một kĩ thuật rất ấn tượng và bất ngờ. Nếu không sử dụng phương pháp này thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài.

Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức đương tự với b,cb,c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\)
vì ta có ab+bc+ac≤3. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Với cách làm trên có thể xây dựng bất đẳng thức tương tự với 4 số.

Chúc bạn học tốt!!! k mình nha=))

bạn xem bài này tại đây: 

http://d.violet.vn/uploads/resources/615/2779702/preview.swf