1) Với x > 0 ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2+1}{x}\ge\dfrac{2x}{x}\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(\text{vì }x>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall x>0\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\). Vậy BĐT được chứng mình với x > 0.

1: Áp dụng Bđt cosi, ta được:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2\)

2a) 

Có \(abcd=1\Rightarrow ab=\dfrac{1}{cd}\)

Áp dụng BĐT vừa chứng mình ở bài 1, ta có:

\(cd+\dfrac{1}{cd}\ge2\Leftrightarrow ab+cd\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow cd=1\)

Vậy BĐT được chứng minh với a,b,c,d > 0 thỏa mãn abcd = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{x}{y}\) và \(\frac{y}{x}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{y}=\frac{y}{x}\) hay \(x=y\)

Cách 2:

\(VT-VP=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\forall x,y>0\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y

_{P/s: Vì câu này trùng với Câu hỏi của Bảo Anh, nội dung y hệt nên mình xóa bớt 1 câu nhé, tránh tình trạng loãng diễn đàn! Thân!}

Ta có :\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{\left(x-y\right)^2}{x.y}\ge x,y>0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta lại có : \(\frac{x}{y}=\frac{y}{x}\)

\(\Rightarrow x=y\) (đpcm)

CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA !!!

sai đè bài òi bạn ơi                    

bn sai mới đúng

Chú ý điểm rơi của nó kìa !!

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{xy}-2\ge0\Rightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)

ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\) Với mọi x thuộc R

mà x,y là 2 số cùng dấu suy ra x.y\(\ge\)0 Với mọi x thuộc R

suy ra \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(đpcm\right)\)

ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2.\sqrt{1}=2\)

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{2}\)

\(\frac{4}{x+y}\le2\)

đề có sai ko vậy