bạn thử tải ảnh về xem nhé

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số không âm ta có:

a⁴+b⁴\(\ge\)2a²b²

c⁴+d⁴\(\ge\)2c²d²

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)2(a²b²+c²d²)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT coossi cho 2 số không âm ta có:

a²b²+c²d²\(\ge\)2abcd

=>(1) tương đương a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)4abcd

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=cd\\a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}-a=b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(a^4,b^4,c^4,d^4\), ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}\)

\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2\cdot2c^2d^2}=2\cdot2\left|abcd\right|=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)

Dấu "=" khi a = b = c = d.

Cách khác áp dụng cho 4 số luôn:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\).

Vậy......................

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b²

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 2a²b² + 2c²d²

⇔ VT ≥ 2\(\sqrt{4\text{a}^2b^2c^2d^2}\) = 4abcd = VP

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd

#)Giải :

Áp dụng BĐT Cauchy 2 số :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\left(đpcm\right)\)

Với mọi a, b, c, d

ta có: \(0\le\left(a^2-b^2\right)^2=a^4-2a^2b^2+b^4\)

=> \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

tương tự: \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd\)

=> \(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)

Vậy ta có điều cần phải chứng minh.

Bạn T.Ps sai rồi nha!Nó có dương đâu mà Cauchy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

P/S:E ko chắc

a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .

-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)

- Cộng 2 bpt lại ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)

- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)

=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)

b, CMTT câu 1 .

- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

- Nhân 3 bpt trên lại ta được :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)

Ta có:\(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0;\forall a;b;c;d\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) ( đfcm )

Với mọi a,b ko âm ta có : a² + b² ≥ 2ab

Do đó a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b² (1)

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d² (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra :
a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 2[ (ab)² + (cd)² ]

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ +d ⁴ ≥ 2(2abcd)

⇒a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd.

ta có a²+b² ≥ 2ab với a,b ≥ 0

⇒ (a²)²+(b²)² ≥ 2a²b²

⇔ a⁴+b⁴ ≥ 2a²b²

tương tự c⁴+d⁴ ≥ 2c²d²

⇒ \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)(1)

tưng tự với các số ab và cd ta có

\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd\)(2)

từ (1) và (2) ta có \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(2abcd\right)\)

hay \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=d=0

1 dòng thôi bạn

Tuy đề bài k cho \(a;b;c;d\) dương nhưng \(a^4;b^4;c^4;d^4\) chắc chắn dương

Cô-Si: \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)

áp dụng BĐT cô si cho 4 số ko âm

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}\)

<=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) (đpcm)

Cách lớp 8 .

Ta có :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\) ( Đúng )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=d\)