-Xét △BEC và △AEM có:

\(BE=AE\) (E là trung điểm AB).

\(EC=EM\) (gt)

\(\widehat{BEC}=\widehat{ĂEM}\) (đối đỉnh).

=>△BEC = △AEM (c-g-c)

=>\(AM=BC\) (2 cạnh tương ứng).

\(\widehat{BCE}=\widehat{AME}\)(2 góc tương ứng).

=>BC//AM (1).

-Xét △CDB và △ADN có:

\(CD=AD\) (D là trung điểm AC).

\(BD=DM\) (gt)

\(\widehat{BDC}=\widehat{NDA}\) (đối đỉnh).

=>△CDB=△ADN (c-g-c)

=>\(AN=BC\) (2 cạnh tương ứng).

\(\widehat{BCD}=\widehat{NAD}\)(2 góc tương ứng).

=>BC//AN (2).

-Từ (1) và (2) suy ra: AN//AM

=>AN trùng với AM hay M,A,N thẳng hàng.

Mà BC=AM=AN.

=>A là trung điểm MN.

Xét tam giác MEA và tam giác BEC có:

EM=FC(gt)

Góc MAE= góc EBC(vì 2 góc đoi đinh)

AE=BE(vì E là trung điem của AB)

Do đo tam giác MAE= tam giác EBC(c.g.g)(1)

=> MA =BC(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ADN và tam giác BDC có:

DN=DB(gt)

góc ADN =góc BDC(2 góc đoi đinh)

AD=CD(vì D là trung điem của AC)

Do đo tam giác ADN= tam giác BDC(c.g.c)(2)

Từ 1 và 2 =>MA=NA

Vì tam giác MEA= tam giác BEC

=> góc B = góc A (2 góc so le trong)

=>AM // BC (3)

 Vì tam giác ADN =tam giác BDC 

=>góc C =góc A (2 góc so le trong)

=>AN // BC (4)

Từ 3 và 4 theo tiên đề ơ clit

=>A,M,N thẳng hàng

Ma MA=NA

Vay A là trung điem của MN

Xét tứ giác ACBM có

E là trung điểm của đường chéo AB

E là trung điểm của đường chéo MC

Do đó: ACBM là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: AM//BC và AM=BC(1)

Xét tứ giác ANCB có 

D là trung điểm của đường chéo AC(gt)

D là trung điểm của đường chéo BN(Gt)

Do đó: ANCB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: AN//CB và AN=CB(2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của MN(đpcm)

Hình bạn tự vẽ nhé!

Xét tam giác MAE và tam giác EBC ... =>tam giác MAE = tam giác CBE (c-g-c)

=> AM=BC(...)(1)

và góc M= góc MCB (..)

=> AM//BC(3)

Xét tam giác ADN và tam giác DBC ...=> tam giác ADN = tam giác CDB (c-g-c)

=> AN=CB (...)(2)

và góc N = góc NBC (...)

=> AN//BC(4)

Từ (1) và (2) => AN=AM(5)

Từ(4) và (3) => A , M , N thẳng hàng ( tiên đề Ơ-clit )(6)

Từ (5) và (6) => A là trung điểm của MN

a/ Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta CDB\) có:

AD=CD(vì d là trung điểm của AC)

\(\widehat{ADM}=\widehat{CDM}\) (2 góc đối đỉnh)

DM=DB(gt)

\(\Rightarrow\Delta ADM=\Delta CDB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAD}=\widehat{BCD}\) (2 góc tương ứng bằng nhau), AM=CB( 2 cạnh tương ứng bằng nhau)

Mà \(\widehat{MAD}\) và \(\widehat{BCD}\) ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\) AM//BC (1)

Xét \(\Delta NAE\) và \(\Delta CBE\) có:

AE=BE(vì E là trung điểm của AB)

\(\widehat{NEA}=\widehat{CEB}\) (2 góc đối đỉnh)

NE=CE(gt)

\(\Rightarrow\Delta NAE=\Delta CBE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{CBE}\) (2 góc tương ứng bằng nhau), NA=CB(2 cạnh tương ứng bằng nhau)

Mà \(\widehat{NAE}\) và \(\widehat{CBE}\) ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\) NA//BC (2)

Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn vì qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng ấy nên ba điểm N , A , M thẳng hàng (3)

Mặt khác: AM=CB(cmt)

NA=CB(cmt)

\(\Rightarrow\) AM=NA (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) A là trung điểm của MN

h