Cho pt \(3x^2-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-3=0\). Không giải pt hãy tính:
a) \(x_1^2+x_2^2\)
b) \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\)
1) Cho pt \(3x^2+5x-6=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) (không giải pt)
Tính giá trị biểu thức \(A=\left(x_1-2x_2\right)\left(2x_1-x_2\right)\)
2) Cho pt \(3x^2-5x-3=0\) có nghiệm \(x_1,x_2\) ( không giải pt)
Tính giá trị biểu thức \(B=x^3_1.x_2+x_1.x^3_2\)
1, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1-2x_2\right)\left(2x_1-x_2\right)\\ =2x_1^2-4x_1x_2-x_1x_2+2x_1^2\\ =2\left(x_1^2+x_2^2\right)-5x_1x_2\\ =2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-5x_1x_2\\ =2\left(-5\right)^2-4.\left(-6\right)-5.\left(-6\right)\\ =104\)
2, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(B=x_1^3x_2+x_1x_2^3\\ =x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)\\ =\left(-3\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]\\ =\left(-3\right)\left[5^2-2\left(-3\right)\right]\\ =-93\)
10. Cho pt \(x^2-12x+4=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt \(x_1,x_2\). Không giải pt, hãy tính giá trị của biểu thức T=\(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\)
(căn x1+căn x2)^2=x1+x2+2*căn x1x2
=12+2*căn 4=16
=>căn x1+căn x2=4
\(T=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{4}=\dfrac{12^2-2\cdot4}{4}=34\)
6 Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt \(x^2-x-3=0\) .Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a. A=\(x_1^2+x_2^2\)
b. B=\(x_1^2x_2+x_1x_2^2\)
c. C=\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\)
d. D=\(\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{1}{1}=1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3\end{matrix}\right.\)
a
\(A=x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1^2-2.\left(-3\right)=1+6=7\)
b
\(B=x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(-3\right).1=-3\)
c
\(C=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1x_2}+\dfrac{x_1}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}\)
d
\(D=\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_2^2}{x_1x_2}+\dfrac{x_1^2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1^2-2.\left(-3\right)}{-3}=\dfrac{1+6}{-3}=\dfrac{7}{-3}=-\dfrac{3}{7}\)
Cho pt: x2 -6x+8=0 có 2 nghiệm phân biệt x1;x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức B=\(\dfrac{x_1\sqrt{x_1}-x_2\sqrt{x_2}}{x_1-x_2}\)
Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\\x_1x_2=8\end{matrix}\right.\)
Theo đề:
\(B=\dfrac{x_1\sqrt{x_1}-x_2\sqrt{x_2}}{x_1-x_2}=\dfrac{\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)\left(x_1+\sqrt{x_1x_2}+x_2\right)}{\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)}\left(x_1,x_2\ge0\right)\)
\(=\dfrac{6+\sqrt{8}}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\)
Tính: \(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=6+2\sqrt{8}=6+4\sqrt{2}=\left(\sqrt{4}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{4}+\sqrt{2}\) (thỏa mãn \(x_1,x_2\ge0\))
Khi đó: \(P=\dfrac{6+\sqrt{8}}{\sqrt{4}+\sqrt{2}}=4-\sqrt{2}\)
1. Cho pt \(3x^2+4x+1=0\)
có nghiệm x1,x2, không giải pt, hãy tính giá trị biểu thức \(C=\dfrac{x_1}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_1-1}\)
2. . Cho pt \(3x^2-5x-1=0\)
có nghiệm x1,x2, không giải pt, hãy tính giá trị biểu thức \(D=\dfrac{x_1-x_2}{x_1}+\dfrac{x_2-1}{x_2}\)
3. . Cho pt \(3x^2-7x-1=0\)
có nghiệm x1,x2, không giải pt, hãy tính giá trị biểu thức \(B=\dfrac{2x^2_2}{x_1+x_2}+2x_1\)
1. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{4}{3}\\x_1.x_2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(C=\dfrac{x_1}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_1-1}=\dfrac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}\)
\(=\dfrac{x_1^2-x_1+x_2^2-x_2}{x_1x_2-x_1-x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)
\(=\dfrac{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2-2.\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{4}{3}\right)}{\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{4}{3}\right)+1}=\dfrac{\dfrac{22}{9}}{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{11}{12}\)
\(1,3x^2+4x+1=0\)
Do pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) nên theo đ/l Vi-ét ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=-\dfrac{4}{3}\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(C=\dfrac{x_1}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_1-1}\)
\(=\dfrac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}\)
\(=\dfrac{x_1^2-x_1+x_2^2-x_2}{x_1x_2-x_2-x_1+1}\)
\(=\dfrac{\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)
\(=\dfrac{S^2-2P-S}{P-S+1}\)
\(=\dfrac{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2-2.\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{4}{3}\right)}{\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{4}{3}\right)+1}\)
\(=\dfrac{11}{12}\)
Vậy \(C=\dfrac{11}{12}\)
\(3,3x^2-7x-1=0\)
Do pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) nên theo đ/l Vi-ét ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{7}{3}\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(B=\dfrac{2x_2^2}{x_1+x_2}+2x_1\)
\(=\dfrac{2x_2^2+2x_1\left(x_1+x_2\right)}{x_1+x_2}\)
\(=\dfrac{2x_2^2+2x_1^2+2x_1x_2}{x_1+x_2}\)
\(=\dfrac{2\left(x_1^2+x_2^2\right)+2x_1x_2}{x_1+x_2}\)
\(=\dfrac{2\left(S^2-2P\right)+2P}{S}\)
\(=\dfrac{2\left(\dfrac{7}{3}^2-2\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right)+2\left(-\dfrac{1}{3}\right)}{\dfrac{7}{3}}\)
\(=\dfrac{104}{21}\)
Vậy \(B=\dfrac{104}{21}\)
cho pt : \(x^2+\sqrt{3}x-\sqrt{5}=0\)
c/m pt có 2 nghiệm \(x_1\)và \(x_2\) và tính \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\)
Vì a*c<0
nên PT có hai nghiệm phân biệt trái dấu
Cho PT \(x^2-19x+9+=0_{ }\) có 2 nghiệm dương phân việt x1,x2. Ko giải PT hãy tính T = \(\dfrac{x_1\sqrt{x_1}+x_2\sqrt{x_2}}{x_1^2+x_2^2}\)
Lời giải:
Theo định lý Viet:
$x_1+x_2=19$
$x_1x_2=9$
Khi đó:
\(x_1\sqrt{x_1}+x_2\sqrt{x_2}=(\sqrt{x_1})^3+(\sqrt{x_2})^3=(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})(x_1-\sqrt{x_1x_2}+x_2)\)
\(=(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})(19-\sqrt{9})=16(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})\)
\(=16\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=16\sqrt{19+2\sqrt{9}}=80\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=19^2-2.9=343\)
$\Rightarrow P=\frac{80}{343}$
9. Cho pt \(x^2-2mx+m+2=0\)
a. Xác định m để pt có 2 nghiệm không âm \(x_1,x_2\)
b. Tính E= \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\)
a: Δ=(-2m)^2-4*(m+2)
=4m^2-4m-8
Để PT có hai nghiệm ko âm thì 4m^2-4m-8>=0 và 2m>0 và m+2>0
=>m>0 và m^2-m-2>=0
=>m>=2
b: \(E^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=2m+2\sqrt{m+2}\)
=>\(E=\sqrt{2m+2\sqrt{m+2}}\)
cho pt : \(3x^2-4x-8=0\)
a) Chứng minh pt có 2 nghiệm phân biệt
b) Không giải pt hãy tính: A= \(\left(x_1-1\right)x_1+\left(x_2-1\right)x_2\) B=\(x^2_1x^2_2-\left(x_1-x_2\right)^2\)
C= \(2x^2_1+2x^2_2-x^2_1x_2-x^2_2x_1\)
\(\Delta'=\left(-2\right)^2-3.\left(-8\right)=4+24=28>0.\)
\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2+2\sqrt{7}}{3}.\\x_2=\dfrac{2-2\sqrt{7}}{3}.\end{matrix}\right.\)