Lời giải:

$n^2+12n=n(n+12)$ nên để $n^2+12n$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $n, n+12$ bằng $1$, số còn lại là số nguyên tố.

Mà $n< n+12$ nên $n=1$

Khi đó: $n^2+12n=1^2+12.1=13$ là số nguyên tố (thỏa mãn)

Đặt \(p=\left(n-2\right)\left(n^2+n-1\right)+n\)

\(\Rightarrow p=n^3+n^2-n-2n^2-2n+2+n\)

\(\Rightarrow p=n^3-n^2-2n+2\)

\(\Rightarrow p=n^2\left(n-1\right)-2\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow p=\left(n-1\right)\left(n^2-2\right)\)

Để \(p\in P\)thì ta có 2 TH:

* TH 1 :

\(\hept{\begin{cases}n-1=1\\n^2-2\in P^{\left(1\right)}\end{cases}}\)

\(n-1=1\)\(\Rightarrow n=2\)( TM \(n\in Z\))

Thay n = 2 vào (1) ta được

 \(n^2-2=4-2=2\in P\)( thỏa mãn )

* TH 2:

\(\hept{\begin{cases}n-1\in P\\n^2-2=1\end{cases}}\)

Do \(n^2-2=1\Rightarrow n^2=3\Rightarrow n=\pm\sqrt{3}\)( ko thỏa mãn \(n\in Z\))

Vậy để \(p\in P\)thì n = 2.

P/S: bài làm của mk còn nhiều sai sót, mong bạn thông cảm nha

\(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}n-1=1\\n^2-2\in P\end{cases}^{\left(1\right)}}\\\hept{\begin{cases}n-1\in P\\n^2-2=1\end{cases}^{\left(2\right)}}\end{cases}}\)

Ta có : n³-n²+n-1=(n³-n²)+(n-1)

=n²x(n-1)+(n-1)x1

=(n²+1)(n-1)

Vì nϵN*→nϵ{1;2;3;4;...}

+Nếu n=1

khi đó n³+n²+n-1=(n²+1)(n-1)

=(1²+1)(1-1)=2x0=0 không là số nguyên tố ( loại)

+Nếu n=2

khi đó n³+n²+n-1=(2²+1)(2-1)= 5x1=5 là số nguyên tố (thỏa mãn )

+Nếu n> hoặc=3

ta có n-1>3-1

→n-1>2

n²>3²

→n²>9

Mà n³+n²+n-1=(n²+1)(n-1)

Do đó n³+n²+n-1 là hợp số

Vậy n=2 thì n³+n²+n-1 là số nguyên tố

Mình biết làm bài này!Nhưng nó dài lắm!Ngại đánh!

To khong can ban tick dau đại!!!

Đặt A=1+n²⁰¹⁷+n²⁰¹⁸ 

*Nếu: n=1 => A= 1 + 1²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁸ = 3 (t/m)

Do đó: A là số nguyên tố

*Nếu: n>1

1+n²⁰¹⁷+n²⁰¹⁸

 =(n²⁰¹⁸-n²)+(n²⁰¹⁷-n)+(n²+n+1)

=n².(n²⁰¹⁶-1)+n.(n²⁰¹⁶-1)+(n²+n).(n²⁰¹⁶-1)+(n²+n+1)

Vì: n²⁰¹⁶ chia hết cho n³

=> n²⁰¹⁶-1 chia hết cho n³-1

=> n²⁰¹⁶-1  chia hết cho (n²+n+1) 

Mà: 1<n²+n+1<A=> A là số nguyên tố  (k/tm đk đề bài số nguyên dương)

Vậy n=1

Có nhầm lẫn gì ko bạn? Nhân hay cộng v!?

Đặt \(p=n^2+n=n\left(n+1\right)\)

Để \(p\in P\)thì:

\(\orbr{\begin{cases}n=1;n+1\in P\\n\in P;n+1=1\end{cases}}\)

Lại có: n + 1 > n

=> n = 1 ( TM n \(\in\)Z )

Thay n = 1 vào p ta được p = 2 ( thỏa mãn p \(\in\)P)

Vậy để p \(\in\)P thì n = 1 

Số hạng chia hết cho a có dạng x = a.k (k ∈ N)

Do đó số hạng chia hết cho 3 có dạng x = 3k (k ∈ N)

Chọn A

\(A=\left(n+5\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left(n+5-n+6\right)\left(n+5+n-6\right)\)

\(=11\left(2n-1\right)\)

Để \(A\) là số nguyên tố thì \(11\left(2n-1\right)\) là số nguyên tố

mà 11 là số nguyên tố \(\Rightarrow2n-1=1\Rightarrow n=1\left(tm\right)\) 

#\(Urushi\)

Bài 2: 

a: Để E là số nguyên thì \(3n+5⋮n+7\)

\(\Leftrightarrow3n+21-16⋮n+7\)

\(\Leftrightarrow n+7\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8;16;-16\right\}\)

hay \(n\in\left\{-6;-8;-5;-9;-3;-11;1;-15;9;-23\right\}\)

b: Để F là số nguyên thì \(2n+9⋮n-5\)

\(\Leftrightarrow2n-10+19⋮n-5\)

\(\Leftrightarrow n-5\in\left\{1;-1;19;-19\right\}\)

hay \(n\in\left\{6;4;29;-14\right\}\)