\(\Delta'=a^2-2a-2\ge0\) (1)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2a\\x_1x_2=2a+2\end{matrix}\right.\)

Từ \(x_1=x_2^2\) thế vào \(x_1x_2=2a+2\)

\(\Rightarrow x_2^3=2a+2\Rightarrow x_2=\sqrt[3]{2a+2}\)

\(\Rightarrow x_1=\sqrt[3]{\left(2a+2\right)^2}\)

Thế vào \(x_1+x_2=2a\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{2a+2}+\sqrt[3]{\left(2a+2\right)^2}=2a\)

Đặt \(\sqrt[3]{2a+2}=t\Rightarrow2a=t^3-2\)

\(\Rightarrow t+t^2=t^3-2\)

\(\Leftrightarrow t^3-t^2-t-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t^2+t+1\right)=0\)

\(\Rightarrow t=2\Rightarrow\sqrt[3]{2a+2}=2\)

\(\Rightarrow a=3\) (thỏa mãn (1))

a) Ta có: \(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)=16-4\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=16-8m+12=-8m+28\)

Để phương trình có hai nghiệm x1;x2 phân biệt thì \(-8m+28>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-28\)

hay \(m< \dfrac{7}{2}\)

Với \(m< \dfrac{7}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2

nên Áp dụng hệ thức Viet, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-4\right)}{1}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{2m-3}{1}=2m-3\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\4+2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Khi \(m=-\dfrac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau

3:

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(-2m-11\right)\)

=4m^2-4m+1+8m+44

=4m^2+4m+45

=(2m+1)^2+44>=44>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm pb

|x1-x2|<=4

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}< =4\)

=>\(\sqrt{\left(2m-1\right)^2-4\left(-2m-11\right)}< =4\)

=>\(\sqrt{4m^2-4m+1+8m+44}< =4\)

=>0<=4m^2+4m+45<=16

=>4m^2+4m+29<=0

=>(2m+1)^2+28<=0(vô lý)

\(\Delta=a^2-4\left(b+2\right)>0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b+2\end{matrix}\right.\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=28\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\64+12x_1x_2=28\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=3\\x_2=-1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) để tìm a; b

Chỉ biết phân tích mù mịt cho đẹp thôi chứ không biết đúng hay sai?

Ta có \(L=\left(3-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right):\left(5-\frac{3b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2\right)\)(chia cả tử và mẫu cho a² khác 0)

Theo hệ thức Vi - et, \(L=\frac{3+\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}{5+3\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2}\)

Theo giả thiết \(0\le x_1\le x_2\le2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1^2\le x_1x_2\\x_2^2\le4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2\le x_1x_2+4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2\le3x_1x_2+4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4\le3x_1x_2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+2\right)\left(x_1+x_2-2\right)\le3x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+5\right)\left(x_1+x_2-2\right)-3\left(x_1+x_2-2\right)\le3x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+5\right)\left(x_1+x_2-2\right)\le3\left(x_1x_2+x_1+x_2-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)-10\le3\left(x_1x_2+x_1+x_2-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)+5\le3\left(x_1x_2+x_1+x_2+3\right)\)

Vì \(\left(x_1+x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)+5>0\)nên

\(L=\frac{3+\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}{5+3\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2}\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x_1=0\\x_2=2\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x_1=2\\x_2=2\end{cases}}\)