a) Ta có: ( 3 n   -   1 ) 2  - 4 = (3n - 1 - 2)(3n - 1 + 2) = 3(n - l)(3n + 1).

Do 3(n - 1)(3n + l) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, nên  ( 3 n   -   1 ) 2  - 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n;

b) Ta có: 100 - ( 7 n   +   3 ) 2  =(7 - 7n)(13 – 7n) = 7(1 - n)(13 -7n) chia hết cho 7 với n là số tự nhiên.

- nếu n là số lẻ ta có (n+1) là số chẵn và (3n+2) là số lẻ nên tích (n+1). (3n+2) là một số chẵn (a) chia hết cho 2

- nếu n là số chẵn ta có (n+1) là số lẻ và (3n+2) là số chẵn nên tích (n+1). (3n+2) là một số chẵn (b) chia hết cho 2

Từ (a) và (b) thì tích (n+1).(3n+2) chia hết cho 2 với mọi N là số tự nhiên

vì trong 1 tích chỉ cần 1 số nhiên chia hết thì cá tích chia hết 

vì có (3n + 2) nên cả tích đó chia hết cho 2

a/ \(2^{225}=\left(2^3\right)^{75}=8^{75}\)

\(3^{151}>3^{150}=\left(3^2\right)^{75}=9^{75}\)

Mà \(8^{75}< 9^{75}\)

=> \(2^{225}< 3^{150}< 3^{151}\)

b/ Xét n là số lẻ

=> n + 1 chẵn

=> n + 1 ⋮ 2

=> (n+1)(3n+2) ⋮2

Xét n là số chẵn

=> 3n chẵn

=> 3n+2 chẵn

=> (n+1)(3n+2) ⋮2

Do đó A = (n+1)(3n+2) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n 

a,60 chia hết cho 15 => 60n chia hết cho 15 ; 45 chia hết cho 15 => 60n+45 chia hết cho 15 (theo tính chất 1)

   60n chia hết cho 30 ; 45 không chia hết cho 30 => 60n+45 không chia hết cho 30 (theo tính chất 2)

b,Giả sử có số a thuộc N thoả mãn cả 2 điều kiện đã cho thì a=15k+6 (1) và a=9q+1.

Từ (1) suy ra a chia hết cho 3, từ (2) suy ra a không chia hết cho 3. Đó là điều vô lí. Vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn đề.

c,1005 chia hết cho 15 => 1005a chia hết cho 15 (1)

   2100 chia hết cho 15 => 2100b chia hết cho 15 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1005a+2100b chia hết cho 15 (theo tính chất 1)

d,Ta có : n^2+n+1=nx(n+1)+1

nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra nx(n+1)+1 là một số lẻ nên không chia hết cho 2.

nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên nx(n+1)+1 không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó nx(n+1)+1 không chia hết cho 5.

Mình xin trả lời ngắn gọn hơn!                                                                      a)60 chia hết cho 15=> 60n chia hết cho 15                                                   15 chia hết cho 15                                                                                       =>60n+15 chia hết cho 15.                                                                             60 chia hết cho 30=>60n chia hết cho 30                                                      15 không chia hết cho 30                                                                       =>60n+15 không chia hết cho 30                                             b)Gọi số tự nhiên đó là A                                                                           Giả sử A thỏa mãn cả hai điều kiện                                                           => A= 15.x+6 & = 9.y+1                                                                         Nếu A = 15x +6 => A chia hết cho 3                                                          Nếu A = 9y+1 => A không chia hết cho 3 => vô lí.=>                                    c) Vì 1005;2100 chia hết cho 15=> 1005a; 2100b chia hết cho 15.             => 1500a+2100b chia hết cho 15.                                                          d) A chia hết cho 2;5 => A chia hết cho 10.                                                 => A là số chẵn( cụ thể hơn là A là số có c/s tận cùng =0.)                    Nếu n là số chẵn => A là số lẻ. (vì chẵn.chẵn+chẵn+lẻ=lẻ)                           Nếu n là số lẻ => A là số lẻ (vì lẻ.lẻ+lẻ+lẻ=lẻ)                                       => A không chia hết cho 2;5

 Nguyễn Minh Trí giải kiểu j thế ?

Câu hỏi của Lưu Thanh Vy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khaoe link trên.

Bài 3:

a) Ta có: \(\left(3n-1\right)^2-4\)

\(=\left(3n-1-2\right)\left(3n-1+2\right)\)

\(=\left(3n-3\right)\left(3n+1\right)\)

\(=3\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(3n+1\right)⋮3\forall n\in N\)(đpcm)

b) Ta có: \(100-\left(7n+3\right)^2\)

\(=\left[10-\left(7n+3\right)\right]\left[10+\left(7n+3\right)\right]\)

\(=\left(10-7n-3\right)\left(10+7n+3\right)\)

\(=\left(7-7n\right)\left(13+7n\right)\)

\(=7\cdot\left(1-n\right)\cdot\left(13+7n\right)⋮7\forall n\in N\)(đpcm)

c) Ta có: \(\left(3n+1\right)^2-25\)

\(=\left(3n+1-5\right)\left(3n+1+5\right)\)

\(=\left(3n-4\right)\left(3n+6\right)\)

\(=3\cdot\left(3n-4\right)\cdot\left(n+2\right)⋮3\forall n\in N\)(đpcm)

d) Ta có: \(\left(4n+1\right)^2-9\)

\(=\left(4n+1-3\right)\left(4n+1+3\right)\)

\(=\left(4n-2\right)\left(4n+4\right)\)

\(=2\cdot\left(2n-1\right)\cdot4\cdot\left(n+1\right)\)

\(=8\cdot\left(2n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮8\forall n\in N\)(đpcm)

- Vì n là số tự nhiên nên n = 5k hoặc n = 5k + 1 hoặc n = 5k + 2 hoặc n = 5k + 3 hoặc n = 5k + 4 .( k thuộc N )

+) Với n = 5k thì n chia hết cho 5.

=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.

+) Với n = 5k + 1 thì 4n + 1 = 4 x ( 5k + 1 ) + 1 = 20k + 4 + 1 = 20k + 5 chia hết cho 5.

=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.

+) Với n = 5k + 2 thì 2n + 1 = 2 x ( 5k + 2 ) + 1 = 10k + 4 + 1 = 10k + 5 chia hết cho 5.

=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.

+) Với n = 5k + 3 thì 3n + 1 = 3 x ( 5k + 3 ) + 1 = 15k + 9 + 1 = 15k + 10 chia hết cho 5.

=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.

+) Với n = 5k + 4 thì n + 1 = 5k + 4 + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5.

=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.

Vậy với mọi số tự nhiên n thì n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.

Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5. TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1 Þ 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2 Þ 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3 Þ 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4 Þ n +1= 5k + 5 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

Đặt A = n.(n+1).(2n+1).(3n+1).(4n+1)

+, Nếu n chia 5 dư 1 => 4n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 2 => 3n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 3 => 2n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 4 => n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

Vậy A luôn chia hết cho 5