a,\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)=\left(a^2+2a\right)\left(a+1\right)\)

\(=a\left(a+2\right)\left(a+1\right)⋮3⋮2\)

                                               \(⋮6\left(ĐPCM\right)\)

b,\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)\)

\(=2a^2-3a-2a^2-2a\)

\(=-5a⋮5\left(ĐPCM\right)\)

Ta có:\(A=n^3+11n=n^3-n+12n\)

=\(n\left(n^2-1\right)+12n\)

Lại có: \(n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)

Vì tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\).

Mà \(12n⋮6\) \(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)\(⋮6\)

\(\Rightarrow A=n^3+11n⋮6\left(đpcm\right)\)

ko cần nữa nh tui nhầm bài OK

khai triển ra, ta dc:
25^n+5^n-18^n-12^n (1)
=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)
=(25-18)K-(12-5)H = 7(K-H) chia hết cho 7
.giải thích: 25^n-18^n=(25-18)[25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n]=7K vì đặt K là [25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n, cái (12-5)H cx tương tự

Biểu thức đó đã chia hết cho 7 rồi, bây h cần chứng minh biểu thức đó chia hết cho 13 là xong
từ (1) nhóm ngược lại để chia hết cho 13. Cụ thể là (25^n-12^n)-(18^n-5^n) chia hết cho 13, cách chứng minh chia hết cho 13 này cx tương tự như cách c.minh chia hết cho 7

.1Mà biểu thức này vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13 nên chia hết cho (7.13)=91

Xong!!!

cái này dễ hiểu hơn

5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) chia hết cho 91
A = 5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) = + 5^n – 18^n – 12^n
= 25^n – 18^n – (12^n – 5^n)
Ta có: 25 – 18 chia hết cho 7
Nên 25 đồng dư với 18 khi chia cho 7
Hay 25^n đồng dư với 18^n khi chia cho 7
Suy ra 25^n – 18^n chia hết cho 7
Chứng minh tương tự thì 12^n – 5^n chia hết cho 7
Nên A chia hết cho 7
Mặt khác A = 25^n – 12^n – (18^n – 5^n)
với 25^n – 12^n và 18^n – 5^n đều chia hết cho 13
Suy ra A chia hết cho 13
Vậy A chia hết cho 7.13 = 91

Ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2-4+5\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left[\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\right]\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a^2-1\right)\)

Đến đây bạn lập luận đi !

a⁵ - a

= a(a⁴ - 1)

= a(a² - 1)(a² + 1)

= a(a - 1)(a + 1)[(a² - 4) + 5]

= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1)

Ta có:

a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) chia hết cho 30

5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 30

=> a⁵ - a chia hết cho 30

Lời giải:

\(A=x^3+y^3+z^3-x-y-z\)

\(A=\left(x^3-x\right)+\left(y^3-y\right)+\left(z^3-z\right)\)

\(A=x\left(x^2-1\right)+y\left(y^2-1\right)+z\left(z^2-1\right)\)

\(A=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+y\left(y-1\right)\left(y+1\right)+z\left(z-1\right)\left(z+1\right)\)

\(A=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)+\left(y-1\right)y\left(y+1\right)+\left(z-1\right)z\left(z+1\right)\)

Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x-1;x;x+1\\y-1;y;y+1\\z-1;z;z+1\end{matrix}\right.\) là 3 số tự nhiên liên tiếp

Suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\\\left(y-1\right)y\left(y+1\right)\\\left(z-1\right)z\left(z+1\right)\end{matrix}\right.\) chia hết cho \(6\)

Hay \(A⋮6\left(đpcm\right)\)

ta có : 

\(n^3+5n=n^2-n+6n\)

                \(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+6n\)

mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2;3\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n.\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow6n⋮6\)

\(\Rightarrow n^3+5n⋮6\)

sorry mk nhầm ! 

chỗ : \(n^2-n+6n\)phải thành 

\(n^3-n+6n\)

\(n^3+5n=n.\left(n^2+5\right)=n.\left(n^2-1\right)+6n=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)+6n\)

\(\hept{\begin{cases}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right)⋮2,3\text{ hay }n.\left(n+1\right).\left(n-1\right)⋮6\forall n\in Z\\6n⋮6\forall n\in Z\end{cases}}\)

=> đpcm

p/s: cách này có vẻ gọn hơn  =) 

Ta có :\(n^3-13n\)

\(=\left(n^3-n\right)-12n\)

\(=n\left(n^2-1\right)-6\left(2n\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-6\left(2n\right)\)

Vì (n-1);n;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp =>(n-1)n(n+1)\(⋮\)2 và 3;

=>(n-1)n(n+1)\(⋮\)6

Mà 6(2n)\(⋮\)6

=>(n-1)n(n+1)-6(2n)\(⋮6\)

\(\Rightarrow n^3-13n⋮6\)