Với a,b,c là 3 cạnh tam giác hãy tìm GTNN của biểu thức: P = \(\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{a+c-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}\)
tìm GTNN của biểu thức: \(A=\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{a+c-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}\) Với a,b,c lần lượt là các cạnh của 1 tam giác
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow A+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(A+\frac{29}{2}=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{a+c-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(A+\frac{29}{2}=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{a+c-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
(Áp dụng BĐT S.Vac -xơ)
\(\Rightarrow A\geq 26\)
Vậy \(A_{\min}=26\)
cho a, b, c là dộ dài 3 cạnh của tam giác. CMR
\(\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{c+a-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}>=26\)
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $P$. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{c+a-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{c+a-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{2}-\frac{29}{2}=26\) (đpcm)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
\(\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{c+a-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}\ge26\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\)\(\left(x,y,z>0\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2c\\y+z=2a\\x+z=2b\end{matrix}\right.\)
Thì ta có: \(\dfrac{2\left(y+z\right)}{x}+\dfrac{9\left(x+z\right)}{2y}+\dfrac{8\left(x+y\right)}{z}\ge26\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{2\left(y+z\right)}{x}+\dfrac{9\left(x+z\right)}{2y}+\dfrac{8\left(x+y\right)}{z}\)
\(=\dfrac{2y}{x}+\dfrac{2z}{x}+\dfrac{9x}{2y}+\dfrac{9z}{2y}+\dfrac{8x}{z}+\dfrac{8y}{z}\)
\(=\left(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{9x}{2y}\right)+\left(\dfrac{2z}{x}+\dfrac{8x}{z}\right)+\left(\dfrac{9z}{2y}+\dfrac{8y}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{2y}{x}\cdot\dfrac{9x}{2y}}+2\sqrt{\dfrac{2z}{x}\cdot\dfrac{8x}{z}}+2\sqrt{\dfrac{9z}{2y}\cdot\dfrac{8y}{z}}\)
\(\ge6+8+12=26=VP\)
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Tìm Min
P= \(\dfrac{4a}{b+c-a}\)+\(\dfrac{9b}{a+c-b}\)+\(\dfrac{16c}{a+b-c}\)
Xem thêm tại đây.
Câu hỏi của Trương quang huy hoàng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác . Tìm gt nhỏ nhất
P = \(\dfrac{4a}{b+c-a}\)+ \(\dfrac{9b}{a+c-b}\)+ \(\dfrac{16c}{a+b-c}\)
tìm GTNN của\(P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\) với a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
giúp mình với ~~
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}.\left(\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}.\left(2.2.3+2.2.4+2.3.4\right)=26\)
Tìm GTNN của P=\(\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)biết a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác
Ban nen cho phan khac chu khong phai phan giai tri
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{4a}{b+c-a}\) + \(\frac{9b}{c+a-b}\)+ \(\frac{16c}{a+b-c}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\Rightarrow x;y;z>0\text{ và }\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{cases}}\)
Áp dụng AM - GM, ta có:
\(2P=4\left(\frac{y+z}{x}\right)+9\left(\frac{x+z}{y}\right)+16\left(\frac{x+y}{z}\right)\)
\(=\left(4\frac{y}{x}+9\frac{x}{y}\right)+\left(4\frac{z}{x}+16\frac{x}{z}\right)+\left(9\frac{x}{y}+16\frac{x}{z}\right)\ge12+16+24=52\Rightarrow P\ge26\)
\(Đ\text{T}\Leftrightarrow3z=4y=6x\)