Xét ΔABC có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Ta có: \(BC\cdot\cos\widehat{C}\cdot\sin\widehat{C}\)

\(=BC\cdot\dfrac{AC}{BC}\cdot\dfrac{AB}{BC}\)

\(=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)

=AH

a)\(12^2+16^2=20^2\)(144+256=400)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)(định lý pytago)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại A

b)Xét tg ABC vuông tại A có đcao AH(cmt)

Ta có:AB.AC=BC.AH(Hệ thức lượng)

          12.16=20.AH

          192=20.AH

           AH=192:20=9.6

c)cosB=AB/BC,cosC=AC/BC

\(\Rightarrow\frac{AB.AB}{BC}+\frac{AC.AC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AB^2}{BC}+\frac{AC^2}{BC}=\frac{\left(AB^2+AC^2\right)}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{BC^2}{BC}=\frac{20^2}{20}=20\)

\(\Rightarrow AB.cosB+AC.cosC=20\)

a: Xét ΔABC có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot20=12\cdot16=192\)

hay AH=9,6(cm)

a, Vì \(BC^2=400=256+144=AC^2+AB^2\) nên tam giác ABC vuông tại A

b, Áp dụng HTL: \(AM=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=9,6\left(cm\right)\)

\(BM=\dfrac{AB^2}{BC}=7,2 \left(cm\right)\)

c, Áp dụng HTL: \(AE\cdot AB=AM^2\)

Áp dụng PTG: \(AM^2=AC^2-MC^2\)

Vậy \(AE\cdot AB=AC^2-MC^2\)

d, Áp dụng HTL: \(AE\cdot AB=MB\cdot MC=AM^2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAM}=\widehat{ACM}\left(cùng.phụ.\widehat{MAC}\right)\\\widehat{AEM}=\widehat{AMC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AEM\sim\Delta CMA\left(g.g\right)\\ \Rightarrow EM\cdot AC=AM^2\)

Vậy ta được đpcm

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

Sửa đề: AD là đường phân giác

a) Tính BC

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=12^2+16^2=400\)

hay BC=20(cm)

Vậy: BC=20cm

b) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{CD}{16}\)

mà BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{CD}{16}=\dfrac{BD+CD}{12+16}=\dfrac{BC}{28}=\dfrac{20}{28}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BD}{12}=\dfrac{5}{7}\\\dfrac{CD}{16}=\dfrac{5}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\\CD=\dfrac{80}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(BD=\dfrac{60}{7}cm\); \(CD=\dfrac{80}{7}cm\)

a)AB=6cm,BC=10cm
∆ABC vuông tại A đg cao AH có
#\(AC^2=BC^2-AB^2\)
AC²=100-36=64
AC=8cm
# \(AB^2=BH.BC\)
36=BH.10
BH=3,6cm
# CH=BC-BH=10-3,6=6,4cm
# \(AH^2=BH.CH\)
AH²=3,6.6,4=23,04
AH=4,8cm

b)
∆ABC vuông tại A đg cao AH có
#\(AB^2=BC^2-AC^2\)
AB²=625-400=225
AB=15cm
# \(AB^2=BH.BC\)
225=BH.25
BH=9cm
# CH= BC-BH=25-9=16cm
# \(AH.BC=AB.AC\)
AH.25=15.20=300
AH=12cm

d: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=HB\cdot HC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=15\left(cm\right)\\AC=20\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Do tam gaics ABC vuông tại A nên:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=96\left(cm^2\right)\)