chứng minh bất đẳng thức
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(a,b,c>0\right)\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
chứng minh các bất đẳng thức
a/ \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c/ \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
b/ \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)
Lời giải:
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
a) \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a+b)^2\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a^2+2ab+b^2)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi $a=b$
c)
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
b) \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)
Áp dụng 2 lần BĐT phần a: \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2(1)\)
Và: \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
Chứng minh bất đẳng thức
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
Điều kiện là \(xy\ne0\)
BĐT tương đương:
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng với giá trị của biến, giải thích
A. \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
B. \(a^2+b^2\ge3ab\)
C. \(x^3+y^3+1\ge3xy\)
D. \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
Cả 4 đều không đúng:
A. Sai khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
A. Sai khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
C. Sai khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\) và nhiều trường hợp khác
D. Sai khi \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\le\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Đề phải cho a,b,c lớn hơn 0 mới đúng
BĐT cần chứng minh tương đương
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)+\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\Sigma\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\dfrac{c\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)}{a+b}\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ac+bc+ac\right)\le a^2+b^2+c^2+2abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
áp dụng Bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)\
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\)
Ta cần cm
\(a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
BĐT trên tương đương
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)\)
BĐT trên là hệ quả của BĐT Schur nên ta có đpcm
Cho a, b, c là số thực dươn. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{1}{a\left(a^2+8ab\right)}+\dfrac{1}{b\left(b^2+8ac\right)}+\dfrac{1}{c\left(c^2+8ab\right)}\le\dfrac{1}{3abc}\)
Chứng minh bất đẳng thức: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{d}=\dfrac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\) (a,b,c,d là số dương).
Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi giá trị thích hợp của biến
\(\left(a-2\right):\left\{\dfrac{a^2-b^2}{a^3+b^3}.\left[a-\dfrac{a^2+b^2}{b}:\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\right]\right\}=\dfrac{a-2}{a}\)
Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi giá trị thích hợp của biến
\(\left(a-2\right):\left\{\dfrac{a^2-b^2}{a^3+b^3}.\left[a-\dfrac{a^2+b^2}{b}:\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\right]\right\}=\dfrac{a-2}{a}\)