a: \(\left(x-2\right)^2>=0\)

\(\left|y-x\right|>=0\)

Do đó: \(\left(x-2\right)^2+\left|y-x\right|>=0\forall x,y\)

=>\(\left(x-2\right)^2+\left|y-x\right|+3>=3\forall x,y\)

=>A>=3 với mọi x,y

Dấu = xảy ra khi x-2=0 và y-x=0

=>x=2=y

b: \(\left|x+5\right|>=0\)

=>\(\left|x+5\right|+5>=5\)

=>B>=5 với mọi x

Dấu = xảy ra khi x+5=0

=>x=-5

c: \(\left|x-2010\right|>=0\)

=>\(-\left|x-2010\right|< =0\)

=>\(-\left|x-2010\right|+2012< =2012\)

=>\(C=\dfrac{2011}{2012-\left|x-2010\right|}>=\dfrac{2011}{2012}\forall x\)

Dấu = xảy ra khi x=2010

a) Ta có:

\(A=\left(x-2\right)^2+\left|y-x\right|+3\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\ge0\\\left|y-x\right|\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(x-2\right)^2+\left|y-x\right|+3\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=y=2\)

Vậy: \(A_{min}=3\Leftrightarrow x=y=2\) 

b) Ta có:

\(B=\left|x+5\right|+5\)

Mà: \(\left|x+5\right|\ge0\)

\(\Rightarrow B=\left|x+5\right|+5\ge5\)

Dấu "=" xảy ra:

\(x+5=0\Rightarrow x=-5\)

Vậy: \(B_{min}=5\Leftrightarrow x=-5\)

c) Ta có:

\(C=\dfrac{2011}{2012-\left|x-2010\right|}\)

Mà: \(\left|x-2010\right|\ge0\)

\(\Rightarrow C=\dfrac{2011}{2012-\left|x-2010\right|}\ge\dfrac{2011}{2012}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x-2010=0\Rightarrow x=2010\)

Vậy: \(C_{min}=\dfrac{2011}{2012}\Leftrightarrow x=2010\)

Với \(\forall x\) ta có :

\(B=\left|x-2010\right|+\left|x-2011\right|+\left|x-2012\right|\)

\(\Leftrightarrow B=\left|x-2010\right|+\left|2011-x\right|+\left|x-2012\right|\)

\(\Leftrightarrow B\ge\left|x-2010\right|+\left|2011-x+x-2012\right|\)

\(\Leftrightarrow B\ge\left|x-2010\right|+1\)

Lại có : \(\left|x-2010\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2010\right|+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\left|x-2010\right|=0\)

\(\Leftrightarrow x=2010\)

Vậy \(A_{Min}=1\Leftrightarrow x=2010\)

Oh!!!!!!!! T nhớ t nói làm lại bài này cho Hằng mak quên nè:v

Ngô Tấn Đạt Nguyễn Thanh Hằng

\(L=\left|x-2010\right|+\left|x-2011\right|+\left|x-2012\right|\)

\(L=\left|x-2010\right|+\left|2012-x\right|+\left|x-2011\right|\)

\(L\ge\left|x-2010+2012-x\right|+\left|x-2011\right|\)

\(L\ge2+\left|x-2011\right|\ge2\)

Dấu "=" khi: \(\left\{{}\begin{matrix}2010\le x\le2012\\x=2011\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2011\)

Để M có giá trị nhỏ nhất thì

2012-2011:(2010-x)=1 

Suy ra : 2011 : (2010-x) =2011

                         2010 -x   = 1

                                  x=   2009

ta có \(B=\left|x-2010\right|+\left|2012-x\right|+\left|x-2011\right|\)

Áp dụng bđt chưa dấu giá trị tuyệt đó ts có

\(\left|x-2010\right|+\left|2012-x\right|\ge\left|x-2010+2012-x\right|=2\)

mà \(\left|x-2011\right|\ge0\)

Cộng hết vào => B\(\ge2\)

dấu = xảy ra <=> x=2011

Ở giữa là nhân hay cộng vậy bạn.

Nếu là nhân thì min bằng 0 vì đây là tích 2 số không âm.

Nếu là cộng: \(A=\left|x+2011\right|+\left|2012-x\right|\ge\left|2011+2012\right|=4023\)

và đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi \(x=2012\)

Đề không rõ ràng này tốt nhất thôi A à.

tý nữa lại sủa, tẹo nữa keo nhầm, kết luận làm được rồi không phải giải nữa.

A mới đưa ra được (.);(+) còn chia(/) và (-) nữa 

2011 nha bạn

cách làm cơ

2012 mới đúng .ko bít cánh làm.!!

Lời giải:
Để $M$ nhỏ nhất thì $2011-6033:(x-2010)$ nhỏ nhất. Giá trị này chính bằng $0$

Khi đó: 

$2011-6033:(x-2010)=0$

$x-2011=6033:2011=3$

$x=2014$

$M=\frac{2011-2011}{2009\times 2010\times 2013}=0$

Ta xét : \(f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}+\frac{\left(1-x\right)^3}{1-3\left(1-x\right)+3\left(1-x\right)^2}\)

\(=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}+\frac{\left(1-x\right)^3}{3x^2-3x+1}=\frac{\left(x+1-x\right)\left(x^2+x^2-2x+1+x^2-x\right)}{3x^2-3x+1}=\frac{3x^2-3x+1}{3x^2-3x+1}=1\)

Áp dụng ta có : 

\(A=\left[f\left(\frac{1}{2012}\right)+f\left(\frac{2011}{2012}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2012}\right)+f\left(\frac{2010}{2012}\right)\right]+...+\left[f\left(\frac{1006}{2012}\right)+f\left(\frac{1006}{2012}\right)\right]\)

\(=1+1+...+1\)(Có tất cả 1006 số 1)

\(=1006\)

sai rồi bạn ơi