Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ các điểm E, D, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CB, AC. Chứng minh : MF + MD + MF < MA +MB + MC.
nhanh len nhe
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC.
Vẽ các điểm E, D, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CB, AC. Chứng minh : MF + MD + MF < MA +MB + MC.Từ điểm M nằm trong tam giác ABC lằn lượt vẽ các đường thẳng vuông góc với BC,CA,AB tại D,E,F. Trên các tia MD,ME,MF lằn lượt lấy các điểm A`,B`,C` sao cho MA`/BC=MB`/CA=MC`/AB. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác A`B`C`
cho tam giác ABC. M là điểm nằm bên trong tam giác. trên MA, MB,MC lần lượt lấy các điểm D,E,F sao cho MD= 1/2 DA, ME= 1/2 BE, MF= 1/2 CF. chứng minh tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC? tìm tỉ số đồng dạng
Xét ΔMAB có MD/DA=ME/EB
nên DE//AB
=>DE/AB=MD/MA=1/3
Xét ΔMAC có MF/MC=MD/MA
nên FD//AC
=>FD/AC=MF/MC=1/3
Xét ΔMBC có ME/EB=MF/FC
nên EF//BC
=>EF/BC=MF/MC=1/3
=>DE/AB=FD/AC=EF/BC
=>ΔDEF đồng dạngvới ΔABC
Từ điểm M nằm trong tam giác ABC vẽ \(MD\perp BC\left(D\in BC\right);ME\perp AC\left(E\in AC\right);MF\perp AB\left(F\in AB\right)\). Trên các tia MD,ME,MF lần lượt lấy các điểm I,K,L sao cho \(\frac{MI}{BC}=\frac{MK}{AC}=\frac{ML}{AB}\). Chứng minh M là trọng tâm của tam giác IKL
Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành KMIG. Giao điểm của MG và IK là N.
Do tứ giác KMIG là hình bình hành nên MI = KG và ^MKG + ^KMI = 1800 hay ^MKG + ^EMD = 1800
Ta có: \(\frac{MI}{BC}=\frac{MK}{AC}\). Do MI = KG nên \(\frac{KG}{BC}=\frac{MK}{AC}\)
Xét tứ giác CDME có: ^CDM = ^CEM = 900 => ^ECD + ^EMD = 1800. Mà ^MKG + ^EMD = 1800 (cmt)
Nên ^ECD = ^MKG hay ^ACB = ^MKG
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)MGK có: \(\frac{GK}{BC}=\frac{MK}{AC}\); ^ACB = ^MKG => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)MGK (c.g.c)
=> ^BAC = ^GMK và \(\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)
Lại có: \(\frac{MK}{AC}=\frac{ML}{AB};\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)(cmt) => \(\frac{ML}{AB}=\frac{MG}{AB}\)=> ML = MG
Ta thấy: Tứ giác AFME có ^AFM = ^AEM = 900 => ^FAE + ^FME = 1800 . Mà ^FAE = ^BAC = ^GMK (cmt)
Nên ^GMK + ^FME = 1800 => G;M;F thẳng hàng. Hay G;M;I thẳng hàng
Mặt khác: N là trung điểm KI và MG (T/c hbh) => Điểm M nằm trên trung tuyến LN của \(\Delta\)IKL (1)
MG = ML; MN = 1/2.MG (cmt) => MN=1/2.ML (2)
Từ (1) và (2) => M là trọng tâm của \(\Delta\)IKL (đpcm).
Tam giác ABC vuông tại có AB<AC, vẽ AH vuông góc BC tại H. Gọi M,E,F lần lượt là trung điểm BC,CA,AB. Chứng minh :
a) MA=MB
b)MF vuông góc AB
c)HE=MF
Lời giải:
a/ Trên tia đối của tia $MA$ lấy $K$ sao cho $MA=MK$
Dễ thấy $\triangle BMA = \triangle CMK$ (c.g.c)
$\Rightarrow AB=CK$ và $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $AB\parallel CK$
Mà $AB\perp AC\Rightarrow CK\perp AC$
Xét tam giác $BAC$ và $KCA$ có:
$CA$ chung
$AB=CK$ (cmt)
$\widehat{BAC}=\widehat{KCA}=90^0$
$\Rightarrow \triangle BAC=\triangle KCA$ (c.g.c)
$\Rightarrow BC=KA$
$\Rightarrow BC:2=KA:2$ hay $BM=AM$ (đpcm)
b. Tam giác $MBA$ cân tại $M$ (do $AM=BM$) nên đường trung tuyến $MF$ đồng thời là đường cao ứng với cạnh đáy $AB$
$\Rightarrow MF\perp AB$
c. Vì $MF\perp AB$ nên $S_{ABM}=MF.AB:2$
$S_{ABC}=CA.AB:2$
Mà $2S_{ABM}=S_{ABC}$ nên $MF.AB=CA.AB:2$
$\Rightarrow MF=AC:2(1)$
Xét tam giác vuông $HAC$ có trung tuyến $HE$. Ứng dụng kết quả của phần a: Tam giác vuông $BAC$ có trung tuyến AM bằng $MB$ và bằng 1 nửa cạnh huyền. Khi đó $HE=AC:2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow HE=MF$
Từ điểm M nằm trong tam giác ABC vẽ MDvuông góc BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F. Trên các tia MD,ME,MF, lằn lượt lấy các điềm I,K,L sao cho MI/BC=MK/AC=MI/AB. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác I,K,L
Cho tam giác nhọn ABC.Từ một điểm M nằm trong tam giác, vẽ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,AC,AB.
CMR: max{MA,MB,MC} ... 2min{MD,ME,MF}
( trong đó: max{MA,MB,MC} là độ dài cạnh lớn nhất trong ba cạnh MA,MB,MC.
Cho tam giác ABC nhọn có điểm M di động trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Tìm vị trí của điểm M để \(MD\times ME\times MF\) lớn nhất
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O. Điểm M thuộc cung nhỏ BC. MD, ME, MF lần lượt vuông góc với AB, BC, AC tại D, E, F.
a) Chứng minh các tứ giác MEFC, MDBE nội tiếp.
b) Chứng minh D, E, F thẳng hàng và MB × MF = MD × MC
c) Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của EF. Chứng minh MK vuông góc với KI
Giải giúp hộ tớ câu b và c nhé. Cảm ơn nhiều!!! >~<
b. Do tứ giác MDBE nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MBE}=\widehat{MBC}=\widehat{MDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(1)
Vì MD \(\perp\)AB tại D (gt) => \(\widehat{MDA}=90^o\)
MF \(\perp\)AC tại F (gt) => \(\widehat{MFA}=90^o\)
Xét tứ giác ADMF có: \(\widehat{MDA}+\widehat{MFA}=90^o+90^o=180^o\)=> tứ giác ADMF nội tiếp (dhnb)
=> \(\widehat{MDF}=\widehat{MAF}=\widehat{MAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{MDE}=\widehat{MDF}\)=> D, E, F thẳng hàng (2 góc có cùng số đo, có 1 cạnh chung, 2 cạnh còn lại của 2 góc cùng nằm về 1 phía so với cạnh chung thì 2 cạnh còn lại trùng nhau)
* Ta có: tứ giác MEFC nội tiếp (cmt) => \(\widehat{EFM}=\widehat{ECM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EM}\)\(\Leftrightarrow\widehat{DFM}=\widehat{BCM}\)(3)
tứ giác MDBE nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MDE}=\widehat{MBE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{ME}\)\(\Leftrightarrow\widehat{MDF}=\widehat{MBC}\)(4)
Từ (3) và (4) => \(\Delta MDF\)đồng dạng với \(\Delta MBC\)(g.g) => \(\frac{MD}{MB}=\frac{MF}{MC}\Leftrightarrow MB\times MF=MD\times MC\)(đpcm)
c. Nối A với M, B với M
Ta có: \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\)(5)
Do tứ giác MEFC nội tiếp => \(\widehat{FME}=\widehat{FCE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EF}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\)(6)
Từ (5) và (6) => \(\widehat{AMB}=\widehat{FME}\)(7)
lại có: tứ giác ADMF nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MAD}=\widehat{MFD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MD}\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MFE}\)(8)
từ (7) và (8) => \(\Delta ABM\)đồng dạng với \(\Delta FEM\)(g.g) => \(\frac{AB}{FE}=\frac{AM}{FM}\Leftrightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{FE}{FM}\Leftrightarrow\frac{2\times AI}{AM}=\frac{2\times FK}{FM}\Leftrightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{FK}{FM}\)(9)
Lại có: \(\widehat{MAD}=\widehat{MFD}\)(CMT) => \(\widehat{MAI}=\widehat{MFK}\)(10)
Từ (9) và (10) => \(\Delta MAI\)đồng dạng với \(\Delta MFK\)(c.g.c) => \(\widehat{IMA}=\widehat{KMF}\)(11)
Ta có: \(\widehat{MID}\)là góc ngoài tại đỉnh I của \(\Delta MAI\)=> \(\widehat{MID}=\widehat{MAI}+\widehat{IMA}\)
Tương tự: \(\widehat{MKD}\)là góc ngoài tại đỉnh K của \(\Delta MFK\)=> \(\widehat{MKD}=\widehat{MFK}+\widehat{KMF}\)
Từ (10) và (11) => \(\widehat{MID}=\widehat{MKD}\)=> Tứ giác MDIK là tứ giác nội tiếp (DHNB) => \(\widehat{IDM}+\widehat{IKM}=180^o\)(Hệ quả)
Mà \(\widehat{IDM}=\widehat{ADM}=90^o\)=> \(\widehat{IKM}=90^o\)<=> MK vuông góc với KI (ĐPCM)