a)ta có:

\(f\left(x\right):\left(x+1\right)\: dư\: 6\Rightarrow f\left(x\right)-6⋮\left(x+1\right)\\ hay\: 1-a+b-6=0\\ \Leftrightarrow b-a-5=0\Leftrightarrow b-a=5\left(1\right)\)

tương tự: \(2^2+2a+b-3=0\\ 2a+b=-1\left(2\right)\)

từ (1) và(2) => \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=5\\2a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\)

Câu a :

Theo đề bài ta có hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=1-a+b=6\\f\left(2\right)=4+2a+b=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b=5\\2a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)=x^2-2x+3\)

\(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1^4-3.1^3+b.1^2+a.1+b=0\\\left(-1\right)^4-3.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+b=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+a=2\\2b-a=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=a\cdot2^2+2b+c=4a+2b+c\\f\left(-5\right)=a\cdot\left(-5\right)^2-5b+c=25a-5b+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)\cdot f\left(-5\right)=\left(4a+2b+c\right)\left(25a-5b+c\right)\)

Lại có:\(25a-5b+c=29a+2c-c-4a-5b\)

\(=3b-c-4a-5b=-2b-c-4a=-\left(4a+2b+c\right)\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)\cdot f\left(-5\right)=-\left(4a+2b+c\right)\left(4a+2b+c\right)\)

\(=-\left(4a+2b+c\right)^2\le0\forall a,b,c\)

=> Q(2)=a2^2+2b+c=4a+2b+c

Q(-1)=a(-1)^2+(-1)b+c=a-b+c

Ta có: 4a+2b+c=5a+b+2c-a+b-c=0-a+b-c=-a+b-c

=>Q(2).Q(-1)=(4a+2b+c).(a-b+c)=(-a+b-c).(a-b+c)=-(a-b+c).(a-b+c)≤ 0 với mọi a,b,c

Nhầm đây mới là câu trả lời:

Ta có:Q(x)=ax²+bx+x

=>Q(2)=a2^2+2b+c=4a+2b+c

Q(-1)=a(-1)^2+(-1)b+c=a-b+c

Ta có: 4a+2b+c=5a+b+2c-a+b-c=0-a+b-c=-a+b-c

=>Q(2).Q(-1)=(4a+2b+c).(a-b+c)=(-a+b-c).(a-b+c)=-(a-b+c).(a-b+c)≤ 0 với mọi a,b,c

Giả sử f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra

f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+bf(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b

Mà f(x)−f(x−1)=xf(x)−f(x−1)=x

⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x

Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2

Do đó f(x)=x22−x2+cf(x)=x22−x2+c

f(n)=1+2+3+...+nf(n)=1+2+3+...+n

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1f(1)−f(0)=1

f(2)−f(1)=2f(2)−f(1)=2

....

f(n)−f(n−1)=nf(n)−f(n−1)=n

Do đó

1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=n22−n2=n(n−1)2

Suy ra
f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+bf(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b
Mà f(x)−f(x−1)=xf(x)−f(x−1)=x
⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x
Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2
Do đó f(x)=x22−x2+cf(x)=x22−x2+c
f(n)=1+2+3+...+nf(n)=1+2+3+...+n
Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1f(1)−f(0)=1
f(2)−f(1)=2f(2)−f(1)=2
....
f(n)−f(n−1)=nf(n)−f(n−1)=n
Do đó
1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=n22−n2=n(n−1)2

:3

Giả sử f﴾x﴿=ax2+bx+cf﴾x﴿=ax2+bx+c ﴾do đề bài cho là đa thức bậc hai﴿

Suy ra f﴾x﴿−f﴾x−1﴿=ax2+bx+c−a﴾x−1﴿2−b﴾x−1﴿−c=2ax+a+bf﴾x﴿−f﴾x−1﴿=ax2+bx+c−a﴾x−1﴿2−b﴾x−1﴿−c=2ax+a+b

Mà f﴾x﴿−f﴾x−1﴿=xf﴾x﴿−f﴾x−1﴿=x ⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta

suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2

Do đó f﴾x﴿=x22−x2+cf﴾x﴿=x22−x2+c f﴾n﴿=1+2+3+...+nf﴾n﴿=1+2+3+...+n

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì: f﴾1﴿−f﴾0﴿=1f﴾1﴿−f﴾0﴿=1 f﴾2﴿−f﴾1﴿=2f﴾2﴿−f﴾1﴿=2 .... f﴾n﴿−f﴾n−1﴿=nf﴾n﴿−f﴾n−1﴿=n

Do đó 1+2+...+n=f﴾1﴿−f﴾0﴿+f﴾2﴿−f﴾1﴿+...+f﴾n﴿−f﴾n−1﴿=f﴾n﴿−f﴾0﴿=n22−n2=n﴾n−1﴿2 

tham khảo 

https://olm.vn/hoi-dap/detail/68987022286.html

0,3 x y + y = 6,5

Theo đề bài ta có: (Thay x= x₁ + x₂;x=x₁;..lần lượt vào biểu thức f(x) thôi mà?)

\(f_{\left(x_1+x_2\right)}=a\left(x_1+x_2\right)+b=f_{\left(x_1\right)}+f_{\left(x_2\right)}=a\left(x_1+x_2\right)+2b\) (gộp thừa số chung ở chỗ f(x1) + f(x2)

Tức là \(f_{\left(x_1+x_2\right)}-\left(f_{\left(x_1\right)}+f_{\left(x_2\right)}\right)=0\Leftrightarrow b-2b=0\Leftrightarrow b=0\)

Từ đó suy ra a không phụ thuộc vào \(f_{\left(x_1+x_2\right)}=f_{\left(x_1\right)}+f_{\left(x_2\right)}\)

Vậy: b = 0, với mọi a ta đều có: \(f_{\left(x_1+x_2\right)}=f_{\left(x_1\right)}+f_{\left(x_2\right)}\)

Câu hỏi của Nguyễn Bá Huy h - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

\(f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x+1-x^2}{x^2\left(x+1\right)^2}=\frac{\left(x+1\right)^2-x^2}{x^2\left(x+1\right)^2}\)

\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\)

\(f\left(2\right)=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\)

\(f\left(3\right)=\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\)

...

\(f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

Lúc đó: \(f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+...+f\left(x\right)=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}\)

\(-\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=1-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

Thay về đầu bài, ta được: \(1-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=\frac{2y\left(x+1\right)^3-1}{\left(x+1\right)^2}-19+x\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=2y\left(x+1\right)-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}-19+x\)

\(\Leftrightarrow2y\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=21\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2y+1\right)=21\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+1\\2y+1\end{cases}}\inƯ\left(21\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm7;\pm21\right\}\)

Lập bảng:

Mà \(x\ne0\)nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(2,3\right);\left(6,1\right);\left(20,0\right);\left(-2,-11\right);\left(-4,-4\right);\left(-8,-2\right)\right\}\)\(\left(-22,-1\right)\)