bạn gom 3 số 1 lần là giải dc bài thôi

\(S=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+3^7\left(1+3+3^2\right)+3^{10}\left(1+3+3^2\right)+3^{13}\left(1+3+3^2\right)\)=\(\left(1+3+3^2\right)\left(3+3^4+3^7+3^{10}+3^{13}\right)=13A\)chia het cho 13

Số số hạng của S:

20 - 0 + 1 = 21 (số)

Do 21 ⋮ 3 nên ta có thể nhóm các số hạng của S thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng như sau:

S = (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3¹⁸ + 3¹⁹ + 3²⁰)

= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3¹⁸.(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³.13 + ... + 3¹⁸.13

= 13.(1 + 3³ + ... + 3¹⁸) ⋮ 13

Vậy S ⋮ 13

S= 1+3+3²+3³+3⁴+...+3¹⁹+3²⁰

S= (1+3+3²) + (3³+3⁴+3⁵) + ... + (3¹⁸+3¹⁹+3²⁰)

S= 13.1+ 3².(1+3+3²) + 3¹⁷.(1+3+3²)

S= 13.1+3².13+3¹⁷.13

S= 13.(1+3²+3¹⁷) \(⋮\) 13

S\(⋮\) 13

Vậy S\(⋮\) 13

Ai giúp tớ với, nhanh lên gấp lắm :(

Ta sẽ chứng minh:

\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Đẳng thức trên có thể chứng minh bằng quy nạp.

Áp dụng ào bài toán cho ra cả phần a và b.

\(a.\)  Gọi  \(A_k=1+2+3+...+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)  và  \(A_{k-1}=1+2+3+...+k-1=\frac{\left(k-1\right)k}{2}\)

Khi đó, ta có:  \(A^2_k-A^2_{k-1}=\left(A_k-A_{k-1}\right)\left(A_k+A_{k-1}\right)=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}-\frac{\left(k-1\right)k}{2}\right]\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}+\frac{\left(k-1\right)k}{2}\right]=k^3\)

Do đó, 

\(1^3=A^2_1;\)

\(2^3=A^2_2-A_1^2;\)

\(3^3=A^2_3-A_2^2;\)

\(.........................................................\)

\(2016^3=A_{2016}^2-A^2_{2015}\)

Cộng tất cả các đẳng thức trên vế theo vế, ta được:

\(1^3+2^3+3^3+...+2016^3=A_{2016}^2=\left[\frac{2016\left(2016+1\right)}{2}\right]^2=\left(1008.2017\right)^2\)  là số chính phương

\(A=3+3^2+...+3^{2016}\)

\(A=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2015}+3^{2016}\right)\)

\(A=3\cdot\left(1+3\right)+3^3\cdot\left(1+3\right)+...+3^{2015}\cdot\left(1+3\right)\)

\(A=4\cdot\left(3+3^3+...+3^{2015}\right)\)

Vậy A chia hết cho 4

_____________

\(A=3+3^2+3^3+...+3^{2016}\)

\(A=\left(3+3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2014}+3^{2015}+3^{2016}\right)\)

\(A=3\cdot\left(1+3+9\right)+3^4\cdot\left(1+3+9\right)+...+3^{2014}\cdot\left(1+3+9\right)\)

\(A=13\cdot\left(3+3^4+...+3^{2014}\right)\)

Vậy A chia hết cho 13

A = 3¹ + 3² +3³ + 3⁴ +.....+3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶

A = (3¹ + 3²) +(3³ + 3⁴) +.....+ (3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶)

A = 3(1+3) + 3²(1+3) + .....+ 3²⁰¹⁵(1+3)

A = 3.4 +3².4 +....... + 3²⁰¹⁵.4

A = 4(3 +3² +....+ 3²⁰¹⁵) chia hết cho 4

===================================================

A =3¹ + 3² +3³ + 3⁴ + 3⁵ +3⁶ +.....+3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶

A = (3¹ + 3² +3³ ) +(3⁴ + 3⁵ +3⁶) +.....+ (3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶)

A = 3(1+3+3²) + 3⁴(1+3+3²) + .....+ 3²⁰¹⁴(1+3+3²)

A = 3.13 +3⁴.13 +....... + 3²⁰¹⁴.13

A = 13.(3 +3⁴ +....+ 3²⁰¹⁴) chia hết cho 13