<=>1+a/b+a/c+1+b/a+b/c+1+c/a+c/b>=9<=>a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b>=6

Áp dụng BĐT Cauchy cho a/b>0 và b/a>0, ta có a/b+b/a>=2. T.tự ta có a/c+c/a>=2, b/c+c/b>=2. Vậy ta có điều phải chứng minh

a ) Ta có :

\(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right).\)

Ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\) với \(x,y\) dương . Do đó \(A\ge3+2+2+2=9.\)

Vậy \(A\ge9.\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)

b ) Áp dụng BĐT ở câu a : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\) trong đó \(x,y,z>0\).Với \(x=b+c,y=a+c,z=a+b\) ta được :

\(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge1,5\)

Xảy ra đẳn thức khi và chỉ khi \(a=b=c.\)

sửa lại câu a

Áp dụng BĐT AM-GM 3 số dương ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có Đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

câu b đúng hay sai ko biết

Đề phải là : cmr : (a+b+c).(1/a + 1/b + 1/c) >= 9

Áp dụng bđt cosi cho lần lượt 3 số a,b,c > 0 và 3 số 1/a ; 1/b ; 1/c > 0 thì :

(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)

>= \(3\sqrt[3]{a.b.c}\).  \(3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}\) =  \(3\sqrt[3]{abc}\).  \(3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)=  \(9\sqrt[3]{abc.\frac{1}{abc}}\)=  9

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

Tk mk nha

Bạn giải là ý b), ý a) vẫn đúng đề

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta được

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân 2 vế của bất đẳng thức trên lại ta được đpcm

Dấu ''='' <=> a = b = c

ko dùng đến BĐT cauchy cx dc!

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=1+1+1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)

\(=3+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Ta có:\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\),thật vậy:

Gỉa sử \(a\ge c\),khi đó:\(a=c+m\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=\frac{c+m}{c}+\frac{c}{c+m}=1+\frac{m}{c}+\frac{c}{c+m}\ge1+\frac{m}{c+m}+\frac{c}{c+m}=1+\frac{m+c}{m+c}=1+1=2\)

Chứng minh tương tự,ta được:

\(\hept{\begin{cases}\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\\\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge6\)

\(\Rightarrow3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge9\left(đpcm\right)\)

Ok,chứng minh cô si cho 3 số:

Với a,b,c không âm: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Đặt \(\sqrt[3]{a}=x;\sqrt[3]{b}=y;\sqrt[3]{c}=z\) (x,y,z \(\ge0\))

BĐT \(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\)  (1)

Mà x,y,z \(\ge0\) suy ra \(x+y+z\ge0\)

Ta sẽ c/m: \(x^2+y^2+z^2\ge xy-yz-zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy-2yz-2zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Suy ra \(\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\ge0\) (2)

Do (2) đúng suy ra (1) đúng.

Vậy BĐT đã được c/m

<=> \(2\left(\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\right)\ge9\)

<=> \(1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{c}{a+b}\) \(\ge\frac{9}{2}=4,5\)

<=> \(\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}\ge4,5-3=1,5\)

BẬy giowg  CM BĐT 

     \(\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}\ge1,5\) là xong 

uk           

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ac}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+6\)

\(bđt\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge3+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\)

Mà: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\ge3\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\ge\frac{3}{2}\)

bđt cuối đúng theo Nesbit. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a+b+c}\right)=9\left(dpcm\right)\)

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}.\text{ÁP DỤNG BĐT CÔ SI TA ĐƯỢC:}\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{bc}{bc}}+2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}=3+2+2+2=9\)

1) Sửa lại:Cho x,y,z dương nhé!

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=x\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1=\left(1+1+1\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\)

\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\)

Vì x,y,z là các số dương ,ta áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2\)

\(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{x}{z}}=2\)

Do đó \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z\)

câu 2) mk chịu

câu 2 đề sai . sửa số 3 thành số 2 . neu sua thanh co 2 thi co the ap dung bdt cosi hoac trebusep

nhân ra ik

ko rảnh mak nhân 

cái này dùng cô si

tui vừa tra mạng òi

nhân ra

\sau đó dùng bất đẳng thức cosi chứ

ông làm kiểu gì