Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=3+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)thật vậy :
Giả sử : \(a\ge b\)không làm mất tính tổng quát của bài toán :
\(\Rightarrow a=m+b\left(m\ge0\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Tương tự : \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\left(đpcm\right)\)
làm dài vậy??
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số ta được:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(a+b+c\ge\sqrt[3]{abc}\)
Nhân vế theo vế của 2 BĐT ta được:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=9\left(đpcm\right)\)
