Câu hỏi của Phạm Thị Hường - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài làm ở link này nhé!

\(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{b}{b}+\dfrac{c}{b}\right)\left(\dfrac{c}{c}+\dfrac{a}{c}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}.\dfrac{b+c}{b}.\dfrac{c+a}{c}=8\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)

Với mọi \(a,b,c>0\) ta có :

+) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

+) \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\)

+) \(\left(c+a\right)^2\ge4ca\) Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow c=a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2.\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều \(\left(đpcm\right)\)

\(P=\dfrac{ab\left(a+b\right)+c\left(a^2+b^2\right)}{abc}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(P\ge\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{2\sqrt{2ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{2\sqrt{2ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)-\dfrac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^2+b^2}{ab}.\dfrac{2\sqrt{2ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}.\dfrac{2\sqrt{2ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}}-\dfrac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\sqrt{ab}}{\sqrt{2ab}}=6-\left(4-\sqrt{2}\right)=2+\sqrt{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A.

Đề viết sai, cosA/2 không phải cos1/2.

Gọi D là chân đường phân giác góc A, ta có:

\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{1}{2}l_a.c.sin\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{2}l_a.b.sin\dfrac{A}{2}\)

\(\Leftrightarrow bc.sinA=l_a\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}\)

\(\Leftrightarrow l_a=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{A}{2}}{\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}}=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}}{b+c}\)

Bằng nhau

a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .

ta áp dụng (a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)) >=9 

dễ chứng minh bdt phụ này 

rùi từ đây suy ra 3(a-b)(b-c)(c-a) = 0 => a=b=c (1)

mà lên bđt phụ trên thì xảy ra khi a=b=c (1)

từ (1) , (2) , ta suy ra a=b=c hay đpcm 

vì k chặt chẽ lắm nên thông cảm

Mấy bài này mình đã làm rồi.