Cho a,b,c \(\in R\) và \(a^2+b^2+c^2=9\). Chứng minh rằng: 2(a+b+c)-abc\(\le10\)
Những câu hỏi liên quan
a) Giải phương trình: \(\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}\)
b) Cho \(0< x< y\le3\) và \(2xy\le3x+y\forall x,y\in R\). Chứng minh rằng: \(x^2+y^2\le10\)
Cho a, b, c \(\in R\), abc khác 0 Chứng minh rằng
\(\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{a^2+c^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{c^2+a^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\right)\left(b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{a^2+c^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\)
Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\)
và \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
\( \Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{a}{{2R}} = R.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}\)
Tương tự ta có: \(\cot B = R.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}\) và \(\cot C = R.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R}{{abc}}\left[ {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \right]\\ = \frac{R}{{abc}}\left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} - {a^2} - {c^2} - {b^2}} \right) = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\end{array}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c thuộc R, a2 +b2+c2=0. chứng minh rằng a+b+c-abc<4
Theo mình nghĩ là có a2 +b2+c2=0 => a=0; b=0; c=0. thay vào là dc. không biết đúng k, mình thấy khúc thay thì nó =0 luôn mà =D
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 2 đường tròn (O;R) và (O;R) tiếp xúc ngoài tại A (RR). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC của 2 đường trong Binleft(O;Rright);Cinleft(O;Rright)a) Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?b) BA cắt (O;R) tại E. Chứng minh rằng BC2BE.CDc) Chứng minh rằng OO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCGiúp mình với ạ
Đọc tiếp
Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài tại A (R>R'). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC của 2 đường trong \(B\in\left(O;R\right)\);\(C\in\left(O';R'\right)\)
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?
b) BA cắt (O';R') tại E. Chứng minh rằng BC2=BE.CD
c) Chứng minh rằng OO' là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giúp mình với ạ
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\) ≥ 9(a + b + c)
(a2+b2+c2)3(a2+b2+c2)3 ≥ 9(a + b + c)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
cho a,b,c >=0 và a+b+c >=abc. Chứng minh rằng: a^2+b^2+c^2 >=abc
Câu trả lời hay nhất: áp dụng BĐT bunhiacopxki
(a² + b² + c²).(1+1+1) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)² = 1
=> a² + b² + c² ≥ 1/3
dấu "=" xảy ra <=> a/1 = b/1 = c/1 => a = b = c = 1/3
tk mk nha $_$
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c thuộc R và a,b,c khác 0 thỏa mãn b^2=ac. chứng minh rằng a/c=(a+2012b)^2/(b+2012c)^2
A)23/42-10/21
B)16/25-3/15
C)7/8-1/3-1/2
D)15/7-4/9-10/9
Đúng 2
Bình luận (0)
Vì \(b^2=ac\) ta suy ra \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\). Đặt \(a=kb\) và \(b=kc\).
Khi đó \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{k\left(kc\right)}{c}=k^2\). (1)
Từ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{2012b}{2012c}=\dfrac{a+2012b}{b+2012c}=k\), suy ra \(k^2=\dfrac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(k^2=\dfrac{a}{c}=\dfrac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\) (đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho a,b,c thuộc R+ và abc=1. chứng minh rằng
\(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)