Cho tam giác ABC vuông ở A. tính giá trị của biểu thức M= \(\left(\sin B-\cos B\right)^2+\left(\sin B+\cos B\right)^2\)
cho tam giác ABC vuông ở A . tính giá trị biểu thức M=\(\left(\sin B-cosB\right)^2+\left(\sin B+\cos B\right)^2\)
\(M=\sin B^2-2\sin B.\cos B+\cos B^2+\sin B^2+2\sin B.\cos B+\cos B^2\)
\(=2\left(\sin B^2+\cos B^2\right)=2.1=2\)
cho tam giác ABC vuông tại A và B = 30o .Tính các giá trị của biểu thức sau:
a) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)+\tan\frac{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)}{2}\)
B) \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)+\cos\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA}\)
Do tam giác ABC vuông tại A và \(\widehat{B}=30^o\) \(\Rightarrow C=60^o\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=150^o;\)\(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=30^o;\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=120^o\)
\(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=90^o;\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=30^o\).Do vậy:
a) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)+\tan\frac{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)}{2}\)
\(=\cos150^o+\sin30^o+\tan60^o\)
\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{3}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
b) \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}\right)+\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\sin90^o+\cos30^o+\cos0^o\)
\(=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
Rút gọn biểu thức \(M = \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\), ta được
A. \(M = \sin 4a\)
B. \(M = 1 - 2{\cos ^2}a\)
C. \(M = 1 - 2{\sin ^2}a\)
D. \(M = \cos 4a\)
\(\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) + \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right] - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) - \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b + \cos 2a - \cos 2b + \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}.2\cos 2a = \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\)
Vậy chọn đáp án C
Cho tam giác ABC. Chứng minh \(\dfrac{\sin^3\dfrac{B}{2}}{\cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}\)+ \(\dfrac{\cos^3\dfrac{B}{2}}{sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}\)-\(\dfrac{\cos\left(A-C\right)}{\sin B}\).\(\tan B=2\)
Tính giá trị của biểu thức sau : B= \(\dfrac{tan\left(\dfrac{21\pi}{2}-x\right).cos\left(38\pi-x\right).sin\left(x-7\pi\right)}{sin\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right).cos\left(x-2023\pi\right)}\)
Tính giá trị của biểu thức sau: B= \(\dfrac{tan\left(\dfrac{23\pi}{2}+x\right).sin\left(2022\pi-x\right).cos\left(x-2021\pi\right)}{cos\left(\dfrac{2021\pi}{2}-x\right).sin\left(x+2023\pi\right)}\)
\(=\dfrac{tan\left(\dfrac{pi}{2}+x\right)\cdot sin\left(-x\right)\cdot cos\left(x-pi\right)}{cos\left(\dfrac{pi}{2}-x\right)\cdot sin\left(x+pi\right)}\)
\(=\dfrac{-cotx\cdot sin\left(-x\right)\cdot\left(-cosx\right)}{sinx\cdot-sinx}\)
\(=\dfrac{cotx\cdot sinx\left(-1\right)\cdot cosx}{-sinx\cdot sinx}=\dfrac{\dfrac{cosx}{sinx}\cdot cosx}{sinx}=\dfrac{cos^2x}{sin^2x}=cot^2x\)
Cho góc nhọn \(\alpha\). Tính giá trị biểu thức:
a) \(A=\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2\)
b) \(B=\sin^4\alpha\left(1+2\cos^2\alpha\right)+\cos^4\alpha\left(1+2\sin^2\alpha\right)\)
c) \(C=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\)
d)\( D=\left(3\sin\alpha+4\cos\alpha\right)^2+\left(4\sin\alpha-3\cos\alpha\right)^2\)
Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)
c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)
a)
Đặt \(A = \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {135^o} = - \cos {45^o};\cos {180^o} = - \cos {0^o}\\\tan {150^o} = - \tan {30^o}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = \left( {2\sin {{30}^o} - \cos {{45}^o} + 3\tan {{30}^o}} \right).\left( { - \cos {0^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = \left( {2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = - \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right).\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{\left( {2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 + 6\sqrt 3 + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{12 + 8\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)
b)
Đặt \(B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {120^o} = - \cos {60^o}\\\cot {135^o} = - \cot {45^o}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}{120^o} = {\cos ^2}{60^o}\\{\cot ^2}{135^o} = {\cot ^2}{45^o}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{60^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{45^o}\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B = {1^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {1^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2}\)
\( \Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.\)
c
Đặt \(C = \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)
\( \Rightarrow C = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + {\left( {\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.\)
Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=\sin x+\sin y+\sin\left(3x+y\right)-2\sin\left(2x+y\right).\cos x\) , \(\forall x\in\left(0,2\pi\right),\forall y\in\left(0,2\pi\right)\) . Biết \(M=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}\) (Với a,b,c \(\in Z^+,\dfrac{a}{c}\) là phân số tối giản, b < 12). Tính \(P=a+b-c\)
\(S=sinx+siny+sin\left(3x+y\right)-sin\left(3x+y\right)-sin\left(x+y\right)\)
\(=sinx+siny-sin\left(x+y\right)\)
\(S^2=\left(sinx+siny-sin\left(x+y\right)\right)^2\le3\left(sin^2x+sin^2y+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left(1-\dfrac{1}{2}\left(cos2x+cos2y\right)+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left[1-cos\left(x+y\right)cos\left(x-y\right)+1-cos^2\left(x-y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)-\left[cos\left(x-y\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(x+y\right)\right]^2\right]\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left(2+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{27}{4}\)
\(\Rightarrow S\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.\)