Nhận thấy (d) luôn đi qua điểm cố định \(A\left(1;2\right)\)

Kẻ OH vuông góc (d)

Áp dụng định lý về đường xiên - đường vuông góc ta có:

\(OH\le OA\Rightarrow OH_{max}=OA\) khi H trùng A hay \(\left(d\right)\perp OA\)

Gọi pt OA có dạng \(y=ax+b\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0=0.a+b\\2=1.a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=0\end{matrix}\right.\)

Do \(\left(d\right)\perp OA\Rightarrow m.2=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\)

1/ Gọi \(\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua

\(\Rightarrow\left(m+2\right)x_0+\left(m-3\right)y_0-m+8=0\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow m\left(x_0+y_0-1\right)+2x_0-3y_0+8=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0-1=0\\2x_0-3y_0+8=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=2\end{matrix}\right.\)

2/ Ta có đường thẳng \(y=\left(m-1\right)x+2\) luôn đi qua điểm cố định \(A\left(0;2\right)\)

\(\Rightarrow\) Khoảng cách từ O đến d luôn \(\le OA\)

\(\Rightarrow\) Khoảng cách là lớn nhất khi \(d\perp OA\)

Mà \(A\in Oy\Rightarrow d\perp Oy\)

\(\Rightarrow m-1=0\Rightarrow m=1\)

\(y=mx-3x+m-2\Rightarrow y=m\left(x+1\right)-3x-2\)

\(\Rightarrow d\) luôn đi qua điểm cố định \(A\left(-1;1\right)\)

Gọi \(M\left(-1;0\right)\) và H là hình chiếu của M lên d \(\Rightarrow MH\) là khoảng cách từ M đến d

Trong tam giác \(AMH\) vuông tại H, do \(AM\) là cạnh huyền và MH là cạnh góc vuông \(\Rightarrow MH\le AM\)

\(\Rightarrow MH_{max}=AM\) khi H trùng M

\(\Rightarrow d\perp AM\)

Mà \(x_A=x_M\Rightarrow AM//Oy\Rightarrow d\perp Oy\Rightarrow d//Ox\)

\(\Rightarrow m-3=0\Rightarrow m=3\)