Lời giải:

Sử dụng BĐT sau:

Cho $a,b$ thực. Khi đó $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$. Áp dụng vào bài toán:

$|x-2018|+|x-2022|=|x-2018|+|2022-x|\geq |x-2018+2022-x|=4$

$|x-2020|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)

$\Rightarrow A\geq 4+0=4$

Vậy GTNN của $A$ là $4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2018)(2022-x)\geq 0$ và $x-2020=0$

Hay khi $x=2020$

@Vũ Văn Tuần:

Để biết vì sao $|a|+|b|\geq |a+b|$ đạt dấu "=" khi $ab\geq 0$ thì bạn đi chứng minh BĐT này thôi.

Xét các TH sau:

TH1: Ít nhất 1 trong 2 số bằng 0. Không mất tính tổng quát giả sử $a=0$. Khi đó: $|a|+|b|=|b|=|b+0|=|a+b|$

TH2: $a,b$ đều khác 0. Xét các TH nhỏ hơn:

TH2.1: $a,b$ cùng dương kéo theo $a+b$ dương. Khi đó:
$|a|=a; |b|=b; |a+b|=a+b$

$\Rightarrow |a|+|b|=|a+b|$

TH2.2: $a,b$ cùng âm thì kéo theo $a+b<0$ Khi đó:
$|a|=-a; |b|=-b; |a+b|=-(a+b)$
$\Rightarrow |a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b)=|a+b|$

TH2.3: $a,b$ khác dấu. Không mất tính tổng quát giả sử $a$ dương $b$ âm.

$\Rightarrow |a|=a; |b|=-b$

Nếu $a+b\geq 0$ thì $|a+b|=a+b$

$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)-(a+b)=-2b>0$ do $b<0$

$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$

Nếu $a+b<0$ thì $|a+b|=-(a+b)$

$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)--(a+b)=a+(-b)+a+b=2a> 0$ do $a>0$

$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$ 

Từ các TH đã xét ta suy ra $|a|+|b|\geq |a+b|$

Dấu "=" xảy ra khi $a,b$ cùng dương, $a,b$ cùng âm hoặc ít nhất 1 trong 2 số $a,b$ bằng $0$

Tức là $ab\geq 0$

giúp mình nha

Ta có |x+2018| >= x+2018  

         | x-2018|>=2018-x

=>|x+2018|+|x-2018|>= x+2018+2018-x = 4036 

Dấu = xảy <=> x+2018 >=0=>   x>=-2018

                         x-2018<=0        x<=2018

Vậy GTNN A=4036 <=> -2018=<x<=2018

Thưa bạn o có GTLN 

T i ck mja

Bạn giải cụ thể ra được ko

Ta có:

\(A=\left|x+2018\right|+\left|x-2018\right|\ge\left|x+2018+x-2018\right|=\left|2x\right|\ge0.\)

Dấu ❝=❞  xảy ra khi và chỉ khi 2x = 0 ⇒ x = 0 

Vậy GTNN của A bằng 0 ⇔ x = 0

Ta có: Với mọi x A luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ⇒ không xác định được GTLN của A. 

Linh cảm của chúa Pain đề sai :)

đề phải là tìm giá trị lớn nhất .

a,  \(a=\frac{1}{x^2+5}\)

\(x^2+5\ge5\)

mẫu : \(\ge\rightarrow\le\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{5}"="\Leftrightarrow x=0\)

b,

\(b=\frac{\left(x+y-z\right)^2.2018}{a^4+b^4+2018}\)

\(a^4\ge0."="\Leftrightarrow a=0\)

\(b^4\ge0"="\Leftrightarrow b=0\)

\(a^4+b^4+2018\ge2018\)

mẫu \(\ge\rightarrow\le\)

\(\Rightarrow B\le\frac{\left(x+y-z\right)^2.2018}{2018}\Rightarrow B\le0\le\left(x+y-z\right)^2\)  ( rút gọn 2018)

\(\Rightarrow B\le0\)

P/s : Chém bừa 

k có B thỏa mãn

\(A=\left(x-1\right)\left(2x-1\right)\left(2x^2-3x-1\right)+2018\)

\(=\left(2x^2-3x+1\right)\left(2x^2-3x-1\right)+2018\)

\(=\left(2x^2-3x\right)^2-1+2018\)

\(=\left(2x^2-3x\right)^2+2017\ge2017\)

\(minA=2017\Leftrightarrow2x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}+2018=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}+2018\)

\(=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2018=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2018\)

\(=\left(\sqrt{x}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2020\) 

\(\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}}+2020\) (BĐT Cauchy)

\(=2022\) (Dấu "=" khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow x=4\) (tm))

\(\left(x-1\right)^{10}+\left(y-3\right)^{20}+2018\)

Nhận xét: \(\left(x-1\right)^{10}\ge0;\left(y-3\right)^{20}\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^{10}+\left(y-3\right)^{20}+2018\ge2018\)

Dấu bằng xảy ra khi x=1 y=3

GTNN của A bằng -1 với x = 2018.

\(A=|x-2017|+|x-2018|\)

\(=|2017-x|+|x-2018|\ge|2017-x+x-2018|\)

Hay \(A\ge1\)

Dấu'=' xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2017-x\right)\left(x-2018\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2017-x\ge0\\x-2018\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}2017-x< 0\\x-2018< 0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2017\\x\ge2018\end{cases}\left(loai\right)}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x>2017\\x< 2018\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2017< x< 2018\)

Vậy MIN A=1 \(\Leftrightarrow2017< x< 2018\)

Lập bảng xét dấu

+) Với x < 2017, ta có:

          A = - (x - 2017) - (x - 2018)

          A= - x + 2017 - x + 2018

          A= - 2x + 4035 > -2.2017 + 4035 = 1

+) Với 2017\(\le\)x \(\le\)2018, ta có:

          A=(x-2017)-(x-2018)

          A=x-2017-x+2018

          A=1

+) Với 2018 < x, ta có:

          A= (x - 2017) + (x - 2018)

          A= x - 2017 + x - 2018

          A= 2x - 4035 > 2.2018 - 4035 = 1

Vậy GTNN của A=1 khi 2017\(\le\)x \(\le\)2018