Lời giải:
Sử dụng BĐT sau:
Cho $a,b$ thực. Khi đó $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$. Áp dụng vào bài toán:
$|x-2018|+|x-2022|=|x-2018|+|2022-x|\geq |x-2018+2022-x|=4$
$|x-2020|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)
$\Rightarrow A\geq 4+0=4$
Vậy GTNN của $A$ là $4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2018)(2022-x)\geq 0$ và $x-2020=0$
Hay khi $x=2020$
@Vũ Văn Tuần:
Để biết vì sao $|a|+|b|\geq |a+b|$ đạt dấu "=" khi $ab\geq 0$ thì bạn đi chứng minh BĐT này thôi.
Xét các TH sau:
TH1: Ít nhất 1 trong 2 số bằng 0. Không mất tính tổng quát giả sử $a=0$. Khi đó: $|a|+|b|=|b|=|b+0|=|a+b|$
TH2: $a,b$ đều khác 0. Xét các TH nhỏ hơn:
TH2.1: $a,b$ cùng dương kéo theo $a+b$ dương. Khi đó:
$|a|=a; |b|=b; |a+b|=a+b$
$\Rightarrow |a|+|b|=|a+b|$
TH2.2: $a,b$ cùng âm thì kéo theo $a+b<0$ Khi đó:
$|a|=-a; |b|=-b; |a+b|=-(a+b)$
$\Rightarrow |a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b)=|a+b|$
TH2.3: $a,b$ khác dấu. Không mất tính tổng quát giả sử $a$ dương $b$ âm.
$\Rightarrow |a|=a; |b|=-b$
Nếu $a+b\geq 0$ thì $|a+b|=a+b$
$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)-(a+b)=-2b>0$ do $b<0$
$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$
Nếu $a+b<0$ thì $|a+b|=-(a+b)$
$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)--(a+b)=a+(-b)+a+b=2a> 0$ do $a>0$
$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$
Từ các TH đã xét ta suy ra $|a|+|b|\geq |a+b|$
Dấu "=" xảy ra khi $a,b$ cùng dương, $a,b$ cùng âm hoặc ít nhất 1 trong 2 số $a,b$ bằng $0$
Tức là $ab\geq 0$
