\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}\)

\(B=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)

\(B=\frac{n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n}{24}\)

\(B=\frac{n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)}{24}\)

\(B=\frac{\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\left(n+2\right)}{24}\)

\(B=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Lập luận là ra

`A=n/3+n^2/2+n^3/6`

`=(n^3+3n^2+2n)/6`

`=(n(n^2+3n+2))/6`

`=(n(n+1)(n+2))/6`

Vì `n(n+1)(n+2)` là tích 3 số nguyên liên tiếp

`=>n(n+1)(n+2) vdots 6`

`=>(n(n+1)(n+2))/6 in Z(forall x in Z)`

Bài 2: 

a) Ta có: \(A=\dfrac{4}{n-1}+\dfrac{6}{n-1}-\dfrac{3}{n-1}\)

\(=\dfrac{4+6-3}{n-1}\)

\(=\dfrac{7}{n-1}\)

Để A là số tự nhiên thì \(7⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(7\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;8\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{2;8\right\}\)

ta có B=2n+9/n+2-3n+5n+1/n+2=4n+10/n+2                                                   Để B là STN thì 4n+10⋮n+2                          4n+8+2⋮n+2                                  4n+8⋮n+2                                                      ⇒2⋮n+2                                     n+2∈Ư(2)                                                        Ư(2)={1;2}                                  Vậy n=0                                                                                  

Ta có: =4+6−3n−1=4+6−3�−1

a. Ta có:

b. Theo kết quả câu a,ta có:

a. Ta có:

b. Theo kết quả câu a,ta có:

b) bạn trục mẫu đi nha dựa vào hằng đẳng thức a^2 -b^2=(a-b)(a+b)

rồi bạn tính nói chung mẫu bằng -1

tính cái trên tử kết quả là 4

c) bạn dựa vào câu b .\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}>\dfrac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

từ đó suy ra B > 2A vậy B>8

\(A=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{n^4}{12}+\dfrac{7n^3}{24}+\dfrac{5n^2}{12}+\dfrac{n}{5}\)

\(=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{10n^4}{120}+\dfrac{35n^3}{120}+\dfrac{50n^2}{120}+\dfrac{24n}{120}\)

\(=\dfrac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n^4+10n^3+35n^2+50n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n^4+n^3+9n^3+9n^2+26n^2+26n+24n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left[n^3\left(n+1\right)+9n^2\left(n+1\right)+26n\left(n+1\right)+24\left(n+1\right)\right]}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+9n^2+26n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+2n^2+7n^2+14n+12n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+7n\left(n+2\right)+12\left(n+2\right)\right]}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+7n+12\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3n+4n+12\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[n\left(n+3\right)+4\left(n+3\right)\right]}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{120}\)

Để A có giá trị nguyên thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)

Thật vậy, vì A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên trong 5 số đó có 2 số chẵn liên tiếp (tích chia hết cho 8),1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 5

mà 8, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(A=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)⋮8.3.5=120\)

Vậy A có giá trị nguyên với mọi n \(\in\) N.

Ta có: \(M=\dfrac{\dfrac{1}{99}+\dfrac{2}{98}+\dfrac{3}{97}+\dfrac{4}{96}+...+\dfrac{97}{3}+\dfrac{98}{2}+\dfrac{99}{1}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}}\)

\(=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{99}\right)+\left(1+\dfrac{2}{98}\right)+\left(1+\dfrac{3}{97}\right)+\left(1+\dfrac{4}{96}\right)+...+\left(1+\dfrac{98}{2}\right)+1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{100}{99}+\dfrac{100}{98}+\dfrac{100}{97}+...+\dfrac{100}{1}+\dfrac{100}{2}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}}\)

=100

Ta có: \(N=\dfrac{92-\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{10}-\dfrac{3}{11}-...-\dfrac{90}{98}-\dfrac{91}{99}-\dfrac{92}{100}}{\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{55}+...+\dfrac{1}{495}+\dfrac{1}{500}}\)

\(=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{9}\right)+\left(1-\dfrac{2}{10}\right)+\left(1-\dfrac{3}{11}\right)+...+\left(1-\dfrac{90}{98}\right)+\left(1-\dfrac{91}{99}\right)+\left(1-\dfrac{92}{100}\right)}{\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{8}{9}+\dfrac{8}{10}+\dfrac{8}{11}+...+\dfrac{8}{99}+\dfrac{8}{100}}{\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}\right)}\)

\(=\dfrac{8}{\dfrac{1}{5}}=40\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{M}{N}=\dfrac{100}{40}=\dfrac{5}{2}\)

a) Ta có : \(A=\dfrac{x^2+y^2+5}{x^2+y^2+3}=1+\dfrac{2}{x^2+y^2+3}\)

Dễ thấy \(x^2\ge0;y^2\ge0\forall x;y\)

nên \(x^2+y^2+3\ge3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2+y^2+3}\le\dfrac{1}{3}\)

<=> \(\dfrac{2}{x^2+y^2+3}\le\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow A=1+\dfrac{2}{x^2+y^2+3}\le\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow A_{max}=\dfrac{5}{3}\)(Dấu "=" xảy ra khi x = y = 0)

phần b) nữa bạn SOS