Đáp án C

Ta có: 2 x + 1 4 y 2 x + y ≥ 2 + 1 2 2  (Bất đẳng thức Bunhia Scopky).

(ngoài ra các em có thể thế và xét hàm).

Do đó P ≥ 5.

Đáp án C

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki,

ta có  2 x + 1 4 y 2 x + y ≥ 2 + 1 2 2 ⇒ P ≥ 5

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)

\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)

Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Ta có:

\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)

\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\) 

Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24

Dự đoán xảy ra cực trị tại y = 2 và x = 1

Ta biến đổi nhưng sau: \(P=\left(8x^3+8+8\right)+\left(y^3+8+8\right)-32\)

\(\ge3\sqrt[3]{8x^3.8.8}+3\sqrt[3]{y^3.8.8}-32\)

\(=24x+12y-32=12\left(2x+y-\frac{8}{3}\right)\)

\(=12\left(6-\frac{8}{3}-xy\right)=12\left(\frac{10}{3}-xy\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-1x.2y\right)\ge12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left(x+1\right)^2}{4}.\frac{\left(y+2\right)^2}{4}\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{\left[\left(x+1\right)\left(y+2\right)\right]^2}{4}\right)\)

\(=12\left(\frac{10}{3}-\frac{xy+2x+y+2}{4}\right)=12\left(\frac{10}{3}-\frac{6+2}{4}\right)=16\)

Vậy P min = 16 khi x = 1;y=2

Chết mọe,nhầm cmnr=(((

Ta có 2x+y+xy=6

\(\Leftrightarrow\)2x+xy+y+2=6+2

\(\Leftrightarrow\)x(y+2)+y+2=8

\(\Leftrightarrow\)(y+2)(x+1)=8

\(\Rightarrow\)(x+1),(y+2)\(\in\)Ư(8)={1;2;4;8;-1;-2;-4;-8}

\(\Rightarrow\)Ta có bẳng sau:

\(\Rightarrow\)

Vì x,y nguyên dương\(\Rightarrow\)(x,y)={(0;6),(1;2),(3;0)}

(thay lần lượt các cặp nghiệm nguyên vào biểu thức \(P=8x^3+y^3\))
 

\(x+y+2xy=\dfrac{15}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{15}{2}\le\left(x+y\right)+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)-15\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+5\right)\left(x+y-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge3\) (vì \(x+y+5>0\) với mọi x,y dương)

\(\Rightarrow P_{min}=3\)

Dấu = xảy ra <=> \(x=y=\dfrac{3}{2}\)

\(x+y=1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Rightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương:

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}.\frac{1}{xy}}=3.\frac{1}{xy}\ge3.4=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

-5