Cho ∆ABC có đuờng cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. E là điểm đối xứng với H qua I.
a) chứng minh tứ giác EAHC là hình chữ Nhật
b) gọi M tại trung điểm của AB
c) chứng minh tứ giác MỊCH là hình thang
Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi D là trung điểm của AB , E là trung điểm của BC .
a) Chứng minh tứ giác ADEC là hình thang .
b) Gọi I là trung điểm AC .Chứng minh tứ giác ADEI là hình chữ nhật .
c) Gọi G là điểm đối xứng E qua I. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để hình chữ nhật ADEI là hình vuông
Câu 16 (3,0 điểm). Cho ABC vuông tại A( AB < AC) có đường cao AH, gọi M là trung điểm AC. Vẽ D là điểm đối xứng của H qua M .
a. Chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật.
b. Gọi E là điểm đối xứng của C qua H. Chứng minh : tứ giác AEHD là hình bình hành.
c. Kẻ EK AB tại K , gọi I là trung điểm AK , N là trung điểm BE.
Chứng minh : KE // IH
a: Xét tứ giác AHCD có
M là trung điểm chung của AC vàHD
góc AHC=90 độ
Do đó: AHCD là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác ADHE có
AD//HE
AD=HE
Do đó: ADHE là hình bình hành
Câu 16 (3,0 điểm). Cho ABC vuông tại A( AB < AC) có đường cao AH, gọi M là trung điểm AC. Vẽ D là điểm đối xứng của H qua M .
a. Chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật.
b. Gọi E là điểm đối xứng của C qua H. Chứng minh : tứ giác AEHD là hình bình hành.
c. Kẻ EK AB tại K , gọi I là trung điểm AK , N là trung điểm BE.
Chứng minh : KE // IH
a: Xét tứ giác AHCD có
M là trung điểm chung của AC vàHD
góc AHC=90 độ
Do đó: AHCD là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác ADHE có
AD//HE
AD=HE
Do đó: ADHE là hình bình hành
Cho tam giác ABC và đường cao AH . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC. Gọi D là điểm đối xứng với H qua M,E là điểm đối xứng với H qua N. Chứng minh rằng A) tứ giác AHBD là hình chữ nhật B) tứ giác AHCE là hình chữ nhật
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MH lấy điểm D sao cho MD = MH. a) Chứng minh : tứ giác AHBD là hình chữ nhật. b) Gọi E là điểm đối xứng của B qua điểm H. Chứng minh tứ giác ADHE là hình bình hành. c)Gọi N là giao điểm của AH và DE,K là trung điểm AC.Chứng minh MN//BC và 3 điểm M,N,K thẳng hàng
\(a,\) Vì M là trung điểm AB cà DH nên AHBD là hình bình hành
Mà \(\widehat{AHB}=90^0\) (đường cao AH) nên AHBD là hcn
\(b,\) Vì AHBD là hcn nên \(AD=BH;AD\text{//}HB\)
Mà \(BH=HE\Rightarrow AD=HE;AD\text{//}HE\)
Do đó: ADHE là hình bình hành
\(c,\) Vì ADHE là hbh mà N là giao AH và DE nên N là trung điểm AH và DE
Mà M là trung điểm AB nên MN là đtb \(\Delta ABH\)
Do đó \(MN//BH\) hay \(MN//BC\)
Ta có N là trung điểm AH và K là trung điểm AC nên NK là đtb \(\Delta ACH\)
Do đó \(NK//HC\) hay \(NK//BC\)
Do đó theo định lí Ta lét thì MN trùng NK hay M,N,K thẳng hàng
a: Xét tứ giác AHBD có
M là trung điểm của AB
M là trung điểm của HD
Do đó: AHBD là hình bình hành
mà \(\widehat{AHB}=90^0\)
nên AHBD là hình chữ nhật
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < ABC).Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N
a/ Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật
b, Gọ D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi
c, Cho AC=20cm, AC=25cm. Tính diện tích tam giác ABC
d, Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK/DC = 1/3
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọ M là trung điểm cảu AB, E là điểm đối xứng với H qua M.
a,Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật
b, Chứng minh tứ giác AEHC là hình bình hành
c, Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh ba đường thẳng AH, CE và MN đồng quy
d,CE cắt AB tại K. Chứng minh rằng AB=3AK
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < ABC).Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N
a/ Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật
b, Gọ D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi
c, Cho AC=20cm, AC=25cm. Tính diện tích tam giác ABC
d, Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK/DC = 1/3
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọ M là trung điểm cảu AB, E là điểm đối xứng với H qua M.
a,Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật
b, Chứng minh tứ giác AEHC là hình bình hành
c, Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh ba đường thẳng AH, CE và MN đồng quy
d,CE cắt AB tại K. Chứng minh rằng AB=3AK
Ta có hình vẽ:
a/ Ta có: EM = MH (E đối xứng với H qua M);
AM = MB (M là trung điểm AB)
H = 900 (AH vuông góc với BC)
=> AHBE là hình chữ nhật
b/ Vì AHBE là hình chữ nhật
=> AE = BH và AE // BH
Mà tam giác ABC cân; AH là đường cao
=> BH = HC
=> AE = HC; AE // HC
=> AEHC là hình bình hành.
c/ Ta có: N là trung điểm AC; M là trung điểm AB => MN là đường trung bình
=> MN // BC mà AH vuông góc BC
=> AH vuông góc MN => AH cắt MN (1)
Mà AEHC là hình bình hành
=> AH cắt CE (hai đường chéo) (2)
Từ (1) và (2) => AH,CE,MN đồng quy
d/ Gọi AH, CE, MN đồng quy tại O
HI // AB cắt CE tại I
Xét hai tam giác AKO và HIO:
=> t/gAKO = t/gHIO
=> AK = HI
HI là đường TB của t/g CKB => HI = 1/2 CK
=> AK = 1/2 CK hay 3AK = AB
1a/IM vuông góc AB=>AMI=90 do
IN vuông góc AC=>ANI=90 do
△ABC vuông tại A=>BAC=90 do
=>góc AMI= gocANI= gocBAC= 90 do => tứ giác AMIN là hình chữ nhật
1b/Có I dx vs D qua N => ID là đường trung trực của AC=>AI=AD; IC=ID(1)
Trong △ABC có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC =>AI=1/2BC hay AI=IC(2)
Từ (1) va (2) => AI=IC=CD=DA => Tu giac AICD la hthoi
2a/ Có M là TĐ AB và M là điểm đối xứng giữa E và H
=> AM=MB VA EM=MH hay AB giao voi EH tai TD M
=> Tg AEBH la hbh co AHB=90 do => Hbh AEBH la hcn
2b/Co AEBH la hcn=>EH=AB
+) Mà AB=AC=>EH=AC(1)
+) △ABC cân tại A có AH là đường cao đồng thời phân giác của góc BAC => góc BAH=góc HAC.
Co goc BAH=1/2 EAH ; góc AHE=1/2AHB
Ma goc EAH= goc AHB=>BAH=AHE hay goc HAC= goc AHE.
Mà 2 góc này ở vị trí SLT=> EH//AC(2)
Từ (1) va (2)=>tg AEHC la hbh
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ I,K lần lượt là trung điểm của AB,BC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua K.
a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b. Gọi E là điểm đối xứng của K qua I. Chứng minh tứ giác AKBE là hình thoi.
c. Chứng minh tứ giác AEKC là hình bình hành.
d. Tìm điều kiện để hình thoi AKBE là hình vuông.
Bài 2: Cho tam gaics ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm AB, lấy điểm E đối xứng với M qua D.
a. Chứng minh: M và E đối xứng nhau qua AB.
b. Chứng minh: AMBE là hình thoi.
c. Kẻ HK vuông góc với AB tại K, HI vuông góc với AC tại I. Chứng minh IK vuông góc với AM
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt từ đường thẳng vuông góc từ AC kẻ từ C tại D.
a. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
b. Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH
a)Ta có
BK=KC (GT)
AK=KD( Đối xứng)
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)
mà góc A = 90 độ (2)
từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật
b) ta có
BI=IA
EI=IK
suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)
ta lại có
BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)
mà BK=KC
AK=KD
suy ra BK=AK (2)
Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi
c) ta có
BI=IA
BK=KC
suy ra IK là đường trung bình
suy ra IK//AC
IK=1/2AC
mà IK=1/2EK
Suy ra EK//AC
EK=AC
Suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành
Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH . Gọi D là trung điểm của AC , K là điểm đối xứng với H qua D . Kẻ DE//BC (E thuộc AB)
a) CHứng minh rằng tứ giác EDCB là hình thang cân
b)CHứng minh tứ giác AKCH là hình chữ nhật
c) Gọi F là giao điểm của AH và ED. CHứng minh rằng F là trung điểm của BK
a) Xét tứ giác EDCB có ED//BC(gt)
nên EDCB là hình thang có hai đáy là ED và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang EDCB có \(\widehat{B}=\widehat{DCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên EDCB là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Xét tứ giác AKCH có
D là trung điểm của đường chéo AC(gt)
D là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua D)
Do đó: AKCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AKCH có \(\widehat{AHC}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AKCH là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇒H là trung điểm của BC
hay HB=HC
mà HC=AK(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCK)
nên BH=AK
Xét ΔABC có
H là trung điểm của BC(cmt)
D là trung điểm của AC(gt)
Do đó: HD là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒HD//AB và \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔABC có
D là trung điểm của AC(gt)
DE//BC(gt)
Do đó: E là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
⇒\(AE=\dfrac{AB}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra HD//AE và HD=AE
Xét tứ giác AEHD có
HD//AE(cmt)
HD=AE(cmt)
Do đó: AEHD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AH và ED cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà AH cắt ED tại F
nên F là trung điểm chung của AH và ED
Xét tứ giác AKHB có
AK//HB(AK//HC, B∈HC)
AK=HB(cmt)
Do đó: AKHB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AH và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà F là trung điểm của AH(cmt)
nên F là trung điểm của BK(đpcm)