a: Xét tứ giác AHMK có

\(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=\widehat{HAK}=90^0\)

=>AHMK là hình chữ nhật

=>AM=HK

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MK//AB

Do đó: K là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MH//AC

Do đó: H là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M,K lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>MK là đường trung bình của ΔABC

=>MK//AB và \(MK=\dfrac{AB}{2}\)

Ta có: MK//AB

H\(\in\)AB

Do đó: MK//HB

Ta có: \(MK=\dfrac{AB}{2}\)

\(AH=HB=\dfrac{AB}{2}\)

Do đó: MK=AH=HB

Xét tứ giác BHKM có

BH//KM

BH=KM

Do đó: BHKM là hình bình hành

c: Gọi O là giao điểm của AM và KH

Ta có: AHMK là hình chữ nhật

=>AM cắt KH tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của AM và KH

=>\(OA=OM=\dfrac{AM}{2};OK=OH=\dfrac{KH}{2}\)

mà AM=KH

nên OA=OM=OK=OH(1)

Xét ΔAKM có

AF,KO là các đường trung tuyến

AF cắt KO tại D

Do đó: D là trọng tâm của ΔAKM

Xét ΔAKM có

D là trọng tâm

KO là đường trung tuyến

Do đó: \(KD=\dfrac{2}{3}KO\left(2\right)\)

Xét ΔHAM có

AE,HO là các đường trung tuyến

AE cắt HO tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔHAM

Xét ΔHAM có

HO là đường trung tuyến

I là trọng tâm

Do đó: \(HI=\dfrac{2}{3}HO\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra HI=KD

a: Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm của AC

I là trung điểm của MK

Do đó: AMCK là hình bình hành

mà \(\widehat{AMC}=90^0\)

nên AMCK là hình chữ nhật

a) Xét ΔABC có

K là trung điểm của AB(gt)

I là trung điểm của AC(gt)

Do đó: KI là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

nên KI//BC và \(KI=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác BKIC có KI//BC(cmt)

nên BKIC là hình thang có hai đáy là KI và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BKIC(KI//BC) có \(\widehat{KBC}=\widehat{ICB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên BKIC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

b) Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AM là đường cao ứng với cạnh đáy BC(Định lí tam giác cân)

\(\Leftrightarrow AM\perp BC\)

hay \(\widehat{AMC}=90^0\)

Xét tứ giác AMCN có 

I là trung điểm của đường chéo AC(gt)

I là trung điểm của đường chéo MN(M và N đối xứng nhau qua I)

Do đó: AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90^0\)(cmt)

nên AMCN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

c) Ta có: AMCN là hình chữ nhật(cmt)

nên AN//MC và AN=MC(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AMCN)

mà B\(\in\)MC và MB=MC(M là trung điểm của BC)

nên AN//BM và AN=BM

Xét tứ giác ANMB có

AN//BM(cmt)

AN=BM(cmt)

Do đó: ANMB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

nên Hai đường chéo AM và BN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)(1)

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của AB(gt)

M là trung điểm của BC(Gt)

Do đó: KM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

nên KM//AC và \(KM=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà I\(\in\)AC và \(AI=\dfrac{AC}{2}\)(I là trung điểm của AC)

nên KM//AI và KM=AI

Xét tứ giác AIMK có

KM//AI(cmt)

KM=AI(cmt)

Do đó: AIMK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

nên Hai đường chéo AM và KI cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM,BN và IK đồng quy(đpcm)