Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Nguyễn Ngọc Lộc , ?Amanda?, Phạm Lan Hương, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@tth_new

Giúp em vs ạ! Thanks nhiều ạ

Aki Tsuki hattori heiji Akai Haruma

Biểu thức này chỉ có min, không có max

\(x^2+y^2+z^2=xy+xz+10yz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x^2}{4}+\left(\dfrac{x}{2}-y-z\right)^2=12yz\)

\(\Rightarrow12yz\ge\dfrac{3}{4}x^2\Rightarrow yz\ge\dfrac{x^2}{16}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{3x^3}{2yz}\ge\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{3x^3}{\dfrac{x^2}{8}}=\dfrac{x^3}{2}-24x\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{2}-24x\) với \(x>0\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x^2-24=0\Rightarrow x=4\)

Từ BBT ta thấy \(\min\limits_{x>0}f\left(x\right)=f\left(4\right)=-64\)

\(\Rightarrow P_{min}=-64\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(4;1;1\right)\)

2a) Có cách này nhưng ko chắc!

\(A\ge\frac{4x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}=\frac{3x^2}{y^2+z^2}+\left(\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}\right)\)

\(\ge\frac{3\left(y^2+z^2\right)}{y^2+z^2}+2\sqrt{\frac{x^2}{y^2+z^2}.\frac{y^2+z^2}{x^2}}=3+2=5\)

Đẳng thức xảy ra khi x² = y² + z²????

tth, ?Amanda?, @Nk>↑@, buithianhtho, Phạm Hoàng Lê Nguyên,

Akai Haruma, Aki Tsuki, @Nguyễn Việt Lâm, @Trần Thanh Phương

Giúp mk vs!

1.

a) Ta thấy:

\(a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

\(\Rightarrow \frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}=\frac{20b^3-(a^3+b^3)}{ab+5b^2}\leq \frac{20b^3-ab(a+b)}{ab+5b^2}=\frac{20b^2-a(a+b)}{a+5b}=\frac{(4b-a)(a+5b)}{a+5b}=4b-a\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\leq 4c-b\); \(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 4a-c\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \sum \frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq 3(a+b+c)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

b) BĐT sai với $a=3,b=4$

mini của mày chịch nhau à hả cu

Câu 1:

\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)

\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)

\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)

\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)

(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Câu 2:

Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D

\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)

Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)

\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)

\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

@Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @tth_new

giúp em vs ạ! e cảm ơn nhiều!

\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

b) Mạnh hơn, và dễ dàng hơn là:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{\sum c\left(a-b\right)^2}{abc}\)

Nó tương đương với: \({\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2} }{{a}^{2}}}+3-2\,{\frac {a}{b}}-2\,{\frac {b}{c}}-2\,{\frac {c}{a}} \geqq 0\)

Là hiển nhiên vì \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\)

Đơn giản:))

a) Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow ab+bc+ca=1;0< a,b,c< 1\)

Cần chứng minh: \(P=\sum\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}}=\sum\frac{b^2-ab^2}{a}\ge\sqrt{3}-1\)

Hay là: \(\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\sqrt{ab+bc+ca}\ge\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)^2\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(\Big[ (\sqrt{3} -1) (ab+bc+ca) +a^2+b^2+c^2\Big]^2\)

Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u, \, b=c+v \, (u,\, v \geq 0)\)

Nếu mình không nhìn nhầm, sau khi rút gọn, nhóm lại theo biến c, bạn nhận được một cái gì đó gọi là hiển nhiên

Chúc may mắn, mình mới rút gọn thử thì thấy có vẻ hiển nhiên thật :))

Sau vài phút cố gắng thì khẳng định đề bài của em bị sai

Đề này còn có lý, lần sau chú ý đọc kĩ đề trước khi đăng lên, tránh làm mất thời gian vô ích:

\(\left|x-2y\right|\le\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow1\ge\sqrt{x}\left|x-2y\right|\Rightarrow1\ge x\left(x-2y\right)^2\)

\(\Rightarrow1\ge x^3-4x^2y+4xy^2\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\left|y-2x\right|\Rightarrow1\ge y^3-4xy^2+4xy^2\)

Cộng vế:

\(\Rightarrow2\ge x^3+y^3=\dfrac{1}{2}\left(x^3+x^3+1\right)+\left(y^3+1+1\right)-\dfrac{5}{2}\ge\dfrac{1}{2}.3x^2+3y-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)\le\dfrac{9}{2}\Rightarrow x^2+2y\le3\)