Bài 5d: Bài tập ôn luyện

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hồng Phúc

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z>0\\x^2+y^2+z^2=x\left(y+z\right)+10yz\end{matrix}\right.\)

Tìm max của \(P=8xyz-\dfrac{3x^3}{y^2+z^2}\)

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 3 2022 lúc 17:01

Biểu thức này chỉ có min, không có max

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 3 2022 lúc 18:13

\(x^2+y^2+z^2=xy+xz+10yz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x^2}{4}+\left(\dfrac{x}{2}-y-z\right)^2=12yz\)

\(\Rightarrow12yz\ge\dfrac{3}{4}x^2\Rightarrow yz\ge\dfrac{x^2}{16}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{3x^3}{2yz}\ge\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{3x^3}{\dfrac{x^2}{8}}=\dfrac{x^3}{2}-24x\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{2}-24x\) với \(x>0\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x^2-24=0\Rightarrow x=4\)

Từ BBT ta thấy \(\min\limits_{x>0}f\left(x\right)=f\left(4\right)=-64\)

\(\Rightarrow P_{min}=-64\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(4;1;1\right)\)


Các câu hỏi tương tự
nguyễn hoàng lê thi
Xem chi tiết
Vũ Mai Thanh
Xem chi tiết
Giang Ngọc Anh
Xem chi tiết
Giang Ngọc Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Huyền Tư
Xem chi tiết
Luka Trần
Xem chi tiết
Autumn
Xem chi tiết
Kang Daniel
Xem chi tiết