Chứng minh Nesbit 4 số rồi áp dụng nhé 

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(c+d\right)}+\frac{c^2}{c\left(d+a\right)}+\frac{d^2}{d\left(a+b\right)}\)  (*)

Theo Cauchy - Schwarz dạng engel , ta có 

(*) \(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)}\) 

\(=\frac{2\left(a+c\right)\left(b+d\right)+\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+d\right)+2ac+2bd}\ge\frac{2\left(a+c\right)\left(b+d\right)+4ac+4bd}{\left(a+c\right)\left(b+d\right)+2ac+2bd}=2\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = c và b = d 

Áp dụng bất đẳng thức Nesbit cho 4 số ,ta có 

\(\frac{2018}{x+y}+\frac{x}{y+2017}+\frac{y}{2017+2018}+\frac{2017}{x+2018}\ge2\)

Đẳng thức xảy ra <=> y = 2018 , x = 2017 

ĐKXĐ:....

Lấy pt trên cộng 2 lần pt dưới ta được:

\(\frac{x+2019}{x+2018}+\frac{10}{x+2016}=12\)

Số to quá, đặt \(x+2016=a\Rightarrow\frac{a+3}{a+2}+\frac{10}{a}=12\)

\(\Leftrightarrow12a\left(a+2\right)=a\left(a+3\right)+10\left(a+2\right)\)

\(\Leftrightarrow12a^2+24a-a^2-3a-10a-20=0\)

\(\Leftrightarrow11a^2+11a-20=0\)

Nghiệm rất xấu, bạn tự giải tiếp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x-1}{2018}=\dfrac{3-y}{2019}=\dfrac{x-1+3-y}{2018+2019}=1\)

=>x-1=2018 và 3-y=2019

=>x=2019; y=-2016

Ta có : 

\(\frac{x+y}{2017}=\frac{xy}{2018}=\frac{x-y}{2019}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{x+y}{2017}=\frac{x-y}{2019}=\frac{x+y+x-y}{2017+2019}=\frac{x+x}{4036}=\frac{2x}{4036}=\frac{x}{2018}\)

Lại có : 

\(\frac{xy}{2018}=\frac{x}{2018}\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy=x\)

\(\Leftrightarrow\)\(y=1\)

Do đó : 

\(\frac{x+y}{2017}=\frac{x-y}{2019}=\frac{x+y-x+y}{2017-2019}=\frac{y+y}{-2}=\frac{2y}{-2}=\frac{y}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\) ( áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ) 

\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{2018}=-1\)

\(\Rightarrow\)\(x=-2018\)

Vậy \(x=-2018\) và \(y=1\)

Chúc bạn học tốt ~