1.Ta có \(\Delta=4m^2-4\left(m^2-m-3\right)=4m+12\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\Delta>0\Rightarrow4m+12>0\Rightarrow m>-3\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m-3\end{cases}}\)

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Rightarrow x_1.x_2< 0\Rightarrow m^2-m-3< 0\Rightarrow\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m>0\\x_1.x_2=m^2-m-3>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\left(l\right);\hept{\begin{cases}m>0\\m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}}}}\)

Vậy \(m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

2. a.Ta có \(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1\)

Ta thấy \(\Delta=4m^2+1>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiejm phân biệt với mọi m

b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Để \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x2\right)^2-4x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2-4.\left(-m\right)=1\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4m=1\)

\(\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\)thoă mãn yêu cầu bài toán 

a=1,b=-4,c=m-1

Ta có : △ = b\(^2\)-4ac =16-4(m-2)=16-4m+8

Để PT(1) có nghiệm kép thì △=0 <=> 16-4m+8=0<=> 4m=24<=>m=6

Với m=6 PT(1) <=> x\(^2\)-4x+6-2=0<=>x\(^2\)-4x+4=0

Lại Có m=6 thì pt có nghiệm kép => x\(_1\)=x\(_2\)=-\(\dfrac{b}{2a}\)=2

Vậy Với m=6 thì pt 1 có nghiệm kép x=1

b) Theo hệ thức Vi-et 

Ta có: x\(_1\)+x\(_2\)=\(\dfrac{-b}{a}\)=4 và x\(_1\).x\(_2\)=\(\dfrac{c}{a}\)=m-2

x1\(^2\)+x2\(^2\)=9

<=> (x\(_1\)+x\(_2\))\(^2\)-2x\(_1\).x\(_2\)=9

<=>16-2m+4=9

<=>2m=1

<=> m=\(\dfrac{1}{2}\)

Vậy m =\(\dfrac{1}{2}\) thì pt(1) có 2 nghiệm thõa mãn x\(_1\)\(^2\)+ x\(_2\)\(^2\)=9

\(a+b+c=1-\left(2m+1\right)+2m=0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm \(x=1\) ; \(x=2m\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow2m\ne1\Rightarrow m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\left|x_1^2-x_2^2\right|=35\)

\(\Leftrightarrow\left|4m^2-1\right|=35\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2-1=35\\4m^2-1=-35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=9\\m^2=-\dfrac{17}{2}\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-3< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

6\(x\) + 2m = 2m\(x\) + 2

6\(x\) - 2m\(x\) = 2 - 2m

2\(x\)(3 - m) = 2( 1 -m)

 \(x\)(3-m)    =  1 - m

 \(x\)            = \(\dfrac{1-m}{3-m}\)

3 - m # 0

Pt có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi

1 - m ⋮ 3- m và ( 1-m)(3-m) > 0

3 - m - 2 ⋮ 3 -m

           2 ⋮ 3 - m

3 - m \(\in\) { -2; -1; 1; 2}

     m ∈ { 5; 4; 2;  1}

Với m = 5 => (1-5)(3-5) = 8 > 0( thỏa mãn)

Với m = 4 => ( 1-4)(3-4) = 3 > 0 (thỏa mãn)

Với m = 2 => ( 1-2) (3-2) = -1 < 0 (loại)

Với m = 1 => ( 1-1)(3-1) =0 (loại)

Vậy m \(\in\) {4; 5}