bài 1: cho 3 số a,b,c thỏa mãn:
1/a + 1/b + 1/c = 1/a+b+c
CMR: 1/a2017 + 1/b2017 + 1/c2017 = 1/a2017+b2017+c2017
bài 2
cho a,b,c ∈ Z thỏa mãn: a3+b3 = 2c3
CMR: a+b+c ⋮ 3
@Akai Haruma @Mysterious Person giải theo cách lớp 8 ạ
a1,a2,a3,......,a2017 là các số nguyên.b1,b2,b3,.....,b2017 là 1 hoán vị (hoán vị là 1 cách sắp xếp theo 1 thứ tự khác nhé) của các số a1,a2,a3,....a2017.Chứng tỏ rằng (a1-b1).(a2-b2). ........ .(a2017-b2017) là 1 số chẵn.
Giả sử 2017 số a1 - b1, a2 - b2,..., a2017 - b2017 là các số lẻ.
Khi đó (a1 - b1) + (a2 - b2) + ... + (a2017 - b2017) = (a1 + a2 + ... + a2017) - (b1 + b2 + ... + b2017) là số lẻ. (1)
Lại có theo đề bài b1, b2,..., b2017 là 1 hoán vị của các số a1, a2,..., a2017 nên (a1 + a2 + ... + a2017) - (b1 + b2 + ... + b2017) = 0. (2)
Ta thấy (1) trái với (2). Do đó giả sử sai.
Suy ra trong 2017 số a1 - b1, a2 - b2,..., a2017 - b2017 có một số chẵn, do đó tích chúng là số chẵn.
Vậy ta có đpcm
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
B1: Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
B2: Cho a,b,c dương thỏa mãn: \(a^2+4b^2+9c^2=2015\). CMR: \(a+b+c\le\dfrac{\sqrt{14}}{6}\)
B3: Cho a,b dương thỏa mãn: \(a^2+b^2=1\).CMR: \(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\le\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$2=(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$
$(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b})^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)$
$=2+a+b\leq 2+\sqrt{2}$
$\Rightarrow a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
B1: Cho \(0\le a,b,c\le2\) thỏa mãn \(a+b+c=3\). CMR: \(a^2+b^2+c^2\le5\)
B2: Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2=a+b\). TÌm GTLN \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)
B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne y,xy\ne0\)
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn \(a\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+b\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=-2\)
và a3+b3+c3=1. CMR \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
bài 1: cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0
tính: (a+2b)2+(b+2c)2+(c+2a)2 / (a-2b)2+(b-2c)2+(c-2a)2
bài 2: cho số a,b,c có tổng khác 0 thỏa mãn: a3+b3+c3=3abc
tính: ab+2bc+3ca / 3a2+4b2+5c2
1.
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{\left(a+2b\right)^2+\left(b+2c\right)^2+\left(c+2a\right)^2}{\left(a-2b\right)^2+\left(b-2c\right)^2+\left(c-2a\right)^2}\)
\(=\dfrac{a^2+4b^2+4ab+b^2+4c^2+4bc+c^2+4a^2+4ca}{a^2+4b^2-4ab+b^2+4c^2-4bc+c^2+4a^2-4ca}\)
\(=\dfrac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\dfrac{-10\left(ab+bc+ca\right)+4\left(ab+bc+ca\right)}{-10\left(ab+bc+ca\right)-4\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\dfrac{-6}{-14}=\dfrac{3}{7}\)
b.
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3abc\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab+2bc+3ca}{3a^2+4b^2+5c^2}=\dfrac{a^2+2a^2+3a^2}{3a^2+4a^2+5a^2}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\)
1. Cho a và b là các số thực thỏa mãn: a2017 + b2017 = 2a2018 . b2018
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P = 2018 – 2018.a.b luôn không âm
Giúp mình với nhaaaa
Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a\(\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}\right)+b\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=-2\)
a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2
và a3+b3+c3=1. CMR \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
bài1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1
CMR:\(b+c\ge16abc\)
Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1
CMr \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)
Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)
Cho a và b là các số thực thỏa mãn: a2017 + b2017 = 2a2018 . b2018
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P = 2018 – 2018.a.b luôn không âm.
mk nhầm đề bài là: a^2017+b^2017=2a^2018.b^2018
giúp em làm bài toán này với
cho 3 số a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 Cmr a/(1+b2) +b/(1+c2) +c/(1+a2)>= 3/2
Lời giải:
Đặt \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
Ta có \(A=(a-\frac{ab^2}{1+b^2})+(b-\frac{bc^2}{1+c^2})+(c-\frac{ca^2}{1+a^2})=3-\left ( \frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2} \right )\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(A\geq 3-\left ( \frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{3a} \right )=3-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)\)
Cũng theo AM-GM
\(9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu $=$ xảy ra khi \(a=b=c=1\)