Question

giúp em làm bài toán này với

cho 3 số a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 Cmr a/(1+b²) +b/(1+c²) +c/(1+a²)>= 3/2

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)

Ta có \(A=(a-\frac{ab^2}{1+b^2})+(b-\frac{bc^2}{1+c^2})+(c-\frac{ca^2}{1+a^2})=3-\left ( \frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2} \right )\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(A\geq 3-\left ( \frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{3a} \right )=3-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)\)

Cũng theo AM-GM

\(9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)

\(\Rightarrow A\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu $=$ xảy ra khi \(a=b=c=1\)