Question

a1,a2,a3,......,a2017 là các số nguyên.b1,b2,b3,.....,b2017 là 1 hoán vị (hoán vị là 1 cách sắp xếp theo 1 thứ tự khác nhé) của các số a1,a2,a3,....a2017.Chứng tỏ rằng (a1-b1).(a2-b2). ........ .(a2017-b2017) là 1 số chẵn.

Answer 1

Giả sử 2017 số a₁ - b₁, a₂ - b₂,..., a₂₀₁₇ - b₂₀₁₇ là các số lẻ.

Khi đó (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂) + ... + (a₂₀₁₇ - b₂₀₁₇) = (a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₇) - (b₁ + b₂ + ... + b₂₀₁₇) là số lẻ. (1)

Lại có theo đề bài b₁, b₂,..., b₂₀₁₇ là 1 hoán vị của các số a₁, a₂,..., a₂₀₁₇ nên (a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₇) - (b₁ + b₂ + ... + b₂₀₁₇) = 0. (2)

Ta thấy (1) trái với (2). Do đó giả sử sai.

Suy ra trong 2017 số a₁ - b₁, a₂ - b₂,..., a₂₀₁₇ - b₂₀₁₇ có một số chẵn, do đó tích chúng là số chẵn.

Vậy ta có đpcm