Gọi d là ƯCLN của 7n và 7n + 1

=> 7n chia hết cho d và 7n + 1 chia hết cho d

=> (7n + 1) - 7n chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1 

Vậy phân số \(\frac{7n}{7n+1}\) tối giản với mọi n 

Gọi ước chung lớn nhất cảu 7n và 7n+1 là d 

Ta có: 7n chia hết cho d ; 7n+1 chia hết cho d 

=> 7n+1 - 7n chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> uwocschung lớ nhất của 7 n và 7n+1 là 1

=> \(\frac{7n}{7n+1}\)tối giản

=> đpcm

Gọi d = ƯCLN ( 7n ; 7n + 1 )

Ta có :

7n \(⋮\)d ; 7n + 1 \(⋮\)d

=> ( 7n + 1 ) - 7n \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

Vậy .........

Nếu n là một số chẵn thì => n+3 là một số lẻ

Mà chẵn x lẻ = chẵn => đpcm

Nếu n là số lẻ thì => n+3 là một số chẵn

Mà lẻ x chẵn = chẵn => đpcm

Vậy tích n.(n+3) luôn là số chẵn với mọi số tự nhiên với n

giả sử n lẻ=> n+3 lẻ=> n(n+3) chẵn, Vn thuộc N

giả sử n chẵn=> n(n+3) chẵn(bởi vì chẵn nhân vs số nào cx chẵn

vậy...

Bài 2:

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+5\right)\)

Nếu  \(n=3k\)ta có:  \(A=3k\left(3k+1\right)\left(3k+5\right)\)chia hết cho 3

Nếu  \(n=3k+1\)ta có:  \(A=\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)\left(3k+6\right)\)

                                                  \(=3\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)\left(k+2\right)\)chia hết cho 3

Nếu  \(n=3k+2\)ta có:  \(A=\left(3k+2\right)\left(3k+3\right)\left(3k+7\right)\)

                                                    \(=3\left(3k+2\right)\left(k+1\right)\left(3k+7\right)\)chia hết cho 3

suy ra: đpcm

Theo mình thì là thế này:

* Xét trường hợp x là số lẻ thì : x+2003 sẽ là số chẵn => (x+2002).(x+2003) là số chẵn

*Xét trường hợp x là số chẵn thì : x+2002 sẽ là số chẵn => (x+2002). (x+2003) là số chẵn

Vậy với mọi số tự nhien x thì tích (x+2002).(x+2003) luôn là số chẵn

\(A=\dfrac{x^3-4x^2+4x+3x^2-12x+12}{x^2-4x+4}\)

\(=\dfrac{x\left(x^2-4x+4\right)+3\left(x^2-4x+4\right)}{x^2-4x+4}\)

\(=\dfrac{\left(x+3\right)\left(x^2-4x+4\right)}{x^2-4x+4}=x+3\)

\(\Rightarrow A\in Z\)