ABC cân tại A nên H đồng thời là trung điểm BC

\(\Rightarrow BH=CH=6\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông ABH:

\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=2\sqrt{13}\)

Gọi D là trung điểm AB, qua D kẻ đường trung trực AB, kéo dài cắt AH tại O

\(\Rightarrow\) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Rightarrow OA=R\)

\(AD=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{13}\)

Trong tam giác vuông ABH: \(cos\widehat{BAH}=\dfrac{AH}{AB}\)

Trong tam giác vuông ADO: \(cos\widehat{BAH}=\dfrac{AD}{AO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AD}{AO}\Rightarrow R=AO=\dfrac{AB.AD}{AH}=6,5\left(cm\right)\)

a, Chứng minh được ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)

=> Các tam giác vuông ABD,ACD có chung cạnh huyền AD

=> B,C cùng thuộc đường tròn đường kính AD

b, Ta có HC= 4cm

Tính được AC =  2 5 cm

Xét tam giác ACD vuông tại C có đường cao HC

A C 2 = A H . A D

Từ đó tính được AD=10cm

Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Vì tam giác ABC cân tại A nên AHlà đường trung trực của BC . Nên  AD là đường trung trực của BC . 

Khi đó O thuộc AD hay AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Tam giác ACD nội tiếp trong (O )  có AD là đường khính suy ra \(\widehat{ACD=90}\)độ 

Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu , ta có :

\(CH^2=HA.HD\)

\(\Rightarrow\)\(HD=\frac{CH^2}{HA}=\frac{\left(\frac{BC}{2}\right)^2}{HA}=\frac{\left(\frac{12}{2}^2\right)}{4}=\frac{6^2}{4}=9cm\)

Ta có \(AD=AH+HD=4+9=13\left(cm\right)\)

Vậy bán kính của đường tròn (O )  là :

 \(R=\frac{AD}{2}=\frac{13}{2}=6,5\left(cm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

(Hình)

Diện tích tam giác ABC là:

S_ABC = 1/2 . AH . BC = 1/2 . 4 . 12 = 24 (cm²)

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH là trung tuyến BC

Nên : BH= HC= 1/2. BC= 1/2 . 12 = 6 (cm)

Trong tam giác AHB:

Áp dụng ĐL pi-ta-go:

 AB² = AH² + BH²

AB² = 4² + 6²

AB= \(2\sqrt{13}\) (cm)

Vì tam giác ABC cân tại A nên : AB = AC = \(2\sqrt{13}\) (cm)

Ta có : S_ABC =\(\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}\)   (R là bán kính đường tòn ngoại tiếp tam giác ABC)

<=> \(24=\frac{2\sqrt{13}.2\sqrt{13}.12}{4R}\)

<=> R= \(\frac{13}{2}\) (cm)

OK

Chuẩn rồi đấy