Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

*Chứng minh bất đẳng thức

Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)  (đpcm)

Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)

em lớp 6 ko biết làm hihi

vậy thì em đừng trả lời

đồng tình vs chu thị mai !!!

\(A=x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)

\(\Rightarrow A_{min}=2\) khi \(x=1\)

b/ \(x\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}\ge2\)

\(B=x^2+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+\frac{3}{4x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{64x^2}}+\frac{3}{4}.2=\frac{9}{4}\)

\(B_{min}=\frac{9}{4}\) khi \(x=\frac{1}{2}\)

c/

\(C=x+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{1}{x^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)

\(C_{min}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\) khi \(\frac{x}{2}=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}\)

d/

\(x\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{x}\ge4\Rightarrow\frac{1}{x^2}\ge16\)

\(D=x+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{128x^2}+\frac{127}{128x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{2.2.128x^2}}+\frac{127}{128}.16=\frac{65}{4}\)

\(D_{min}=\frac{65}{4}\) khi \(x=\frac{1}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(8\ge x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge4\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=2

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(A\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{4}=1\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=2

Hình như anh kudo shinichi ngược dấu một xíu thì phải ạ: \(8\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\left(x+y\right)\le4\) chứ ạ?Dẫn đến 

khúc sau ngược dấu.Nếu em sai thì xin thông ảm cho ạ. Lời giải của em đây:

\(A\ge\frac{4}{x+y}=\frac{16}{4x+4y}\ge\frac{16}{x^2+4+y^2+4}\) (BĐT Cô si hay AM-GM gì đó: \(x^2+4\ge2\sqrt{x^2.4}=2.2.x=4x;...\))

\(=\frac{16}{8+8}=1\).Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2.

Vậy min A = 1 khi x =y = 2

tth: Chỗ đó a gõ nhầm nhưng khúc sau không ngược dấu e nhé

b, có thể dùng bunhiacopxki nếu bn k bt bunhiacopxki  thì thay 1=x+y+z r sử dụng bđt côsi chính là câu a đấy  

Giải hộ mình được không ạ ! Mình cảm ơn nhiều

P = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(=\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)

\(=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+1+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\)

\(=3+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT ở câu a, ta được:

\(P\ge3+2+2+2=9\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z