\(N=\Sigma\frac{3}{b+c}+\Sigma\frac{a^2}{b+c}\ge\Sigma\frac{3}{3-a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\left(Svac\right)\)

                                                   \(=\Sigma\frac{3}{3-a}+\frac{3}{2}\)

Để C/m \(N\ge6\)thì \(\Sigma\frac{3}{3-a}\ge\frac{9}{2}\)

Áp dụng Svac \(\frac{3}{3-a}+\frac{3}{3-b}+\frac{3}{3-c}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^2}{3+3+3-\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\left(Q.E.D\right)\)

Dấu bằng tại a=b=c=1

Ủa bạn nào nứng loz tk sai ghê vậy ? =)) óc loz ak ?

Em màu mè tí nhé,vừa sos vừa cô si:P

\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{sym}\left(\frac{a^2+1+2}{3-a}-2\right)-\Sigma_{sym}2\left(a-1\right)\ge0\) (em làm tắt chút nhé)

Thật vậy ta có: \(VT\ge\Sigma_{sym}\left(\frac{2\left(a+1\right)}{3-a}-\frac{2\left(3-a\right)}{3-a}\right)-\Sigma_{sym}2\left(a-1\right)\)

\(=\Sigma_{sym}\frac{4\left(a-1\right)}{3-a}-\Sigma_{sym}2\left(a-1\right)\)\(=\Sigma_{sym}\left[\frac{4\left(a-1\right)}{3-a}-2\left(a-1\right)\right]\)

\(=\Sigma_{sym}2\left(a-1\right)\left(\frac{2}{3-a}-1\right)=\Sigma_{sym}2\left(a-1\right)\left(\frac{2-3+a}{3-a}\right)\)

\(=\Sigma_{sym}\frac{2\left(a-1\right)^2}{3-a}=\frac{2\left(a-1\right)^2}{3-a}+\frac{2\left(b-1\right)^2}{3-b}+\frac{2\left(c-1\right)^2}{3-c}\ge0\) (luôn đúng)

Do đó ta có Q.E.D

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =1

Mà đúng không ta :3

chắc dùng cối

\(N=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(N\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+3.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{6}+\frac{27}{6}=6\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)

Xem câu hỏi

Ta có \(\frac{b+c+6}{1+a}=\frac{11-a}{1+a}=-1+\frac{12}{1+a}\)

\(\frac{c+a+4}{2+b}=-1+\frac{12}{2+b}\)

\(\frac{a+b+3}{3+c}=-1+\frac{12}{3+c}\)

Mà \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{3+c}\ge\)

\(\frac{3^2}{1+2+3+a+b+c}=\frac{3}{4}\)

Từ đó => VT \(\ge\)-3 + \(12\frac{3}{4}\)= 6

Đặt x=a+1; y=b+2; z=3+c (x;y;z>0)

\(VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)

\(=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}}+2\sqrt{\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{y}}=6\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=3; b=2; c=1

\(N=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=6^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1

Ta có đánh giá \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) \(\forall a:0< a< 3\)

Thật vật, biến đổi tương đương: \(\Leftrightarrow3+a^2\ge2a\left(3-a\right)\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\) ; \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)

Cộng vế với vế: \(N\ge2\left(a+b+c\right)=6\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có:

\(\frac{3+a^2}{b+c}=\frac{a^2+a+b+c}{b+c}=\frac{a^2+a}{b+c}+1=\frac{a^2}{b+c}+\frac{a}{b+c}+1\)

Tương tự,ta có:

\(\frac{3+b^2}{a+c}=\frac{b^2}{a+c}+\frac{b}{a+c}+1\)

\(\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{c^2}{a+b}+\frac{c}{a+b}+1\)

Cộng vế theo vế của các đẳng thức,ta có:

\(N=3+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và BĐT Nesbitt,ta có:

\(N\ge3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{3}{2}\)

\(=6\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Mình xài p,q,r nhé :))

Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)

\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)

\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )

\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)

Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)

\(=p^3-3pq+3r\)

--------------------------------------

\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)

\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)

\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)

Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq

Đọc xong lú luôn @_@. Khúc đầu chả hiểu gì hết 

mà thôi cũng phải tk ông a 1 cái vì có tâm với nghề

\(P=\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{c+a+4}{2+b}+\frac{a+b+3}{3+c}\)

\(\Rightarrow P+3=\frac{b+c+5}{1+a}+1+\frac{c+a+4}{2+b}+1+\frac{a+b+3}{3+c}+1\)

\(\Rightarrow P+3=\frac{a+b+c+6}{1+a}+\frac{a+b+c+6}{2+b}+\frac{a+b+c+6}{3+c}\)

\(\Rightarrow P+3=\frac{12}{1+a}+\frac{12}{2+b}+\frac{12}{3+c}\ge\frac{12.9}{6+a+b+c}=9\)

\(\Rightarrow P\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\\c=1\end{matrix}\right.\)

này là dấu gì @Nguyễn Việt Lâm

Ta có \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

Mà a+b+c=0 nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Ta có \(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{3}=\frac{(a^2+b^2+c^2)3abc}{6}=\frac{(a^2+b^2+c^2)abc}{2}\)(1)

Ta có \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)3abc\)(2)

Bạn nhân vế trái của (2) ra rồi nhóm lại thì đc nhứ sau

\(=>2\left(a^5+b^5+c^5\right)-2abc\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)3abc\)

\(=>2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=>\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{abc(a^2+b^2+c^2)}{2}\)(3)

Từ (1)và (3)=> đpcm

Học tốt nha bạn !