bài 1 : cho 10a+b/10b+c = b/c ( c khác 0 ) chứng minh a2 + b2 / b2 + c2 = a / c
Bài 2 : cho 10a+b / a+b = 10b + c/b+c . Chứng minh a/b= c /d (c khác 0 )
Bài 3 Cho 10a + b/ b = 10b+c / c = 10c+a / a . Chứng minh a=b=c
Chứng minh rằng nếu a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c = 3 thì ab+a 3b2+10b+3 + bc+b 3c2+10c+3 + ca+c 3a2+10a+3 ≥
3 8
cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn
: 2(a+b+c)+ab+bc+ca=9
tìm Max \(A=\dfrac{a+1}{a^2+10a+21}+\dfrac{b+1}{b^2+10b+21}+\dfrac{c+1}{c^2+10c+21}\)
Mẫu số to quá nên ko nghĩ ra cách giải đẹp mắt:
Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\), ta cần c/m: \(A\le\dfrac{3}{16}\)
Do \(\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+10a+20}\le\sum\dfrac{a+1}{2a+10a+20}=\sum\dfrac{a+1}{12a+20}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\sum\dfrac{a+1}{3a+5}\le\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{3a+3}{3a+5}-1\right)\le\dfrac{9}{4}-3\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3a+5}\ge\dfrac{3}{8}\Leftrightarrow\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)+10\left(a+b+c\right)+25}{\left(3a+5\right)\left(3b+5\right)\left(3c+5\right)}\ge\dfrac{1}{8}\) (quy đồng)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)\right)+25}{27abc+45\left(ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)\right)-15\left(a+b+c\right)+125}\ge\dfrac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(a+b+c\right)+52}{27abc-15\left(a+b+c\right)+530}\ge\dfrac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow47\left(a+b+c\right)\ge27abc+114\)
Điều này đúng do:
\(9=2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\le2\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c-3\right)\left(a+b+c+9\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Và: \(9=a+b+c+a+b+c+ab+bc+ca\ge9\sqrt[9]{a^4b^4c^4}\)
\(\Rightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}47\left(a+b+c\right)\ge141\\27abc+114\le27+114=141\end{matrix}\right.\) (đpcm)
Cho biết a+c=2b;và 2bd=c(b+d) , chứng minh rằng: \(2\left(\frac{10a+c}{10b+d}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{c}{d}\right)^2\)
\(a+c=2b\Rightarrow2bd=ad+cd=c\left(b+d\right)=bc+cd\)
\(\Rightarrow ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
Lúc đó: \(2\left(\frac{10a+c}{10b+d}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=2\left(\frac{10.bk+dk}{10b+d}\right)^2-\left(\frac{bk}{b}\right)^2\)
\(=2k^2-k^2=k^2\)(1)
và \(\left(\frac{c}{d}\right)^2=\left(\frac{dk}{d}\right)^2=k^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\left(\frac{10a+c}{10b+d}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{c}{d}\right)^2\)(đpcm)
Cho các số thực dương a; b và c. Chứng minh rằng : \(\sqrt{a^2+5ab+10b^2}+\sqrt{b^2+5bc+10c^2}+\sqrt{c^2+5ac+10a^2}\ge4.\left(a+b+c\right)\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn nhiều ạ!
\(VT=\sqrt{\left(a+\dfrac{5b}{2}\right)^2+\dfrac{15b^2}{4}}+\sqrt{\left(b+\dfrac{5c}{2}\right)^2+\dfrac{15c^2}{4}}+\sqrt{\left(c+\dfrac{5a}{2}\right)^2+\dfrac{15a^2}{4}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{5b}{2}+b+\dfrac{5c}{2}+c+\dfrac{5a}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{\dfrac{49}{4}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{15}{4}\left(a+b+c\right)^2}=4\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. CMR: \(\dfrac{10a}{1+a^2}+\dfrac{10b}{1+b^2}+\dfrac{10c}{1+c^2}< =9\)
Với x dương, ta có đánh giá:
\(\dfrac{x}{1+x^2}\le\dfrac{36x+3}{50}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(x^2+1\right)\left(36x+3\right)\ge50x\)
\(\Leftrightarrow36x^3+3x^2-14x+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\left(4x+3\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{10a}{1+a^2}+\dfrac{10b}{1+b^2}+\dfrac{10c}{1+c^2}\le10.\dfrac{36\left(a+b+c\right)+9}{50}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
cho tỉ lệ thức \(\frac{10a+b}{a+b}\)=\(\frac{10b+c}{b+c}\), chúng minh rằng \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\), với mọi a,b,c khác 0
Ta có : \(\frac{10a+b}{a+b}=\frac{10b+c}{b+c}\Leftrightarrow10ab+10ac+b^2+bc=10ab+10b^2+ca+cb\)
\(\Leftrightarrow\)9ac=9b2 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
Cho (10c-10b)/9=(11a-9c)/10=(9b-10a)/11
C/M a/9= b/10=c/11
cho tỷ lệ thức a/c=c/b (a,b,c khác 0). Chứng minh
a) a2+c2/b2+c2=a/b
b) b2-a2 / a2+c2= b-a/a
\(a,\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{b^2}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\left(1\right)\)
Mà \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c^2}{b^2}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\tođpcm\)
\(b,\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}=\dfrac{b-a}{a}\left(đpcm\right)\)
Cho biết a < b. Chứng minh rằng :
a. 2a + 5 < 2b + 5
b. 2 - 10a > 2 - 10b
c. 7a - 3 < 7b - 1
d. \(3-\dfrac{a}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)
a)Vì a<b=>2a<2b
=>2a+5<2b+5
b)Vì a<b=>-10a>-10b
=>2-10a>2-10b
c)Vì a<b=>7a<7b
=>7a-3<7b-3(1)
Vì -3<-1=>7b-3<7b-1(2)
Từ (1) và (2)=>đpcm
d)Vì a<b=>\(-\dfrac{a}{3}< -\dfrac{b}{3}\)
=>\(3-\dfrac{a}{3}>3-\dfrac{b}{3}\)(3)
Vì 3>1=>\(3-\dfrac{b}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)(4)
Từ (3) và (4)=> đpcm
a, Ta có: a < b \(\Rightarrow\) 2a < 2b \(\Rightarrow\) 2a + 5 < 2b + 5
b, Ta có: a < b \(\Rightarrow\) -10a > -10b (đổi dấu) \(\Rightarrow\) 2 + (-10a) > 2 + (-10b) \(\Leftrightarrow2-10a>2-10b\)
c, Ta có: a < b \(\Rightarrow\)7a < 7b
Lại có: -3 < -1
\(\Rightarrow\) 7a + (-3) < 7a + (-1) \(\Leftrightarrow\) 7a - 3 < 7b - 1
d, Ta có: a < b \(\Rightarrow-\dfrac{a}{3}>-\dfrac{b}{3}\)(đổi dấu)
Lại có: 3 > 1
\(\Rightarrow3+\left(-\dfrac{a}{3}\right)>1+\left(-\dfrac{b}{3}\right)\Leftrightarrow3-\dfrac{a}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)