a: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

XétΔABC vuông tại A có \(\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

=>\(\widehat{B}\simeq53^0\)

b: \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=2.4\left(cm\right)\)

\(HB=\dfrac{BA^2}{BC}=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\)

HC=BC-HB=3,2(cm)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHCA vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

d: Xét tứgiác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

Xét (AH/2) có

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{AHM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

DO đó: \(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}=\widehat{B}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE=CE
=>\(\widehat{EAC}=\widehat{C}\)

\(\widehat{ANM}+\widehat{EAC}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>AE\(\perp\)MN

tự vẽ hình nha bn

a. Ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)(Theo định lí Pytago, tam giác ABC vuông tại A)

b. Ta có: \(\frac{BH}{CH}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{BH+CH}{CH}=\frac{3}{4}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{BC}{CH}=\frac{7}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{5}{CH}=\frac{7}{4}\)\(\Leftrightarrow CH=\frac{5.4}{7}=\frac{20}{7}\)

\(\Rightarrow BH=5-\frac{20}{7}=\frac{15}{7}\)

c,d bạn giải giùm mình được không

a: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

XétΔABC vuông tại A có \(\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

=>\(\widehat{B}\simeq53^0\)

b: \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=2.4\left(cm\right)\)

\(HB=\dfrac{BA^2}{BC}=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\)

HC=BC-HB=3,2(cm)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHCA vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

d: Xét tứgiác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

Xét (AH/2) có

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{AHM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

DO đó: \(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}=\widehat{B}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE=CE
=>\(\widehat{EAC}=\widehat{C}\)

\(\widehat{ANM}+\widehat{EAC}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>AE\(\perp\)MN

a) IN là đường trung bình tam giác AHC => IN//AC. Mà AC vuông góc AB

=> IN vuông góc AB (Quan hệ //, vuông góc)

Xét tam giác ABI:

AH vuông góc BI, IN vuông góc AB (N thuộc AH)

=> N là trực tâm tam giác ABI (đpcm)

b) Ta có: BK vuông góc AB, IN vuông góc AB (cmt) => BK//IN (1)

IK vuông góc AI, BN vuông góc AI (N là trực tâm tam giác ABI)

=> IK//BN (2)

Từ (1) và (2) => BNIK là hình bình hành (đpcm)

1) Hình : Tự vẽ

a) Ta có : AM = MD (gt)

                HM = MC (gt)

    Nên : ACDH là hình bình hành

          => AH = CD (đpcm)

b) Cho HD cắt AB tại E

    Do : ACDH là hình bình hành (cmt)

    Nên : AC // HD (=) AC // ED

    Mà : \(\widehat{EAC}=90^o\)

         => \(\widehat{AED}=180^o-\widehat{EAC}=180^o-90^o=90^o\)

    Do đó : DH \(\perp\)AB (đpcm)

c) Ta có : \(\widehat{EHA}=\widehat{CDE}\)(đồng vị)

    Xét \(\Delta EAH\)và \(\Delta CHD\), ta có :

          \(\widehat{AEH}=\widehat{HCD}=90^o\)

          \(\widehat{EHA}=\widehat{CDH}\)(cmt)

   Nên : \(\Delta EAH\)đồng dạng với \(\Delta CHD\)(g - g)

        => \(\widehat{BAH}=\widehat{DHC}\)

a, Ta có:\(AB^2+AC^2=12^2+16^2=400\)(cm)

\(BC^2=20^2=400\)(cm)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A

Xét Δ DNC và Δ ABC có:

\(\widehat{NDC}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)

Chung \(\widehat{C}\)

⇒Δ DNC \(\sim\) Δ ABC (g.g)

b, Ta có: BD=DC=1/2.BC=1/2.20=10(cm)

Δ DNC \(\sim\) Δ ABC (cma)

\(\Rightarrow\dfrac{ND}{AB}=\dfrac{NC}{BC}=\dfrac{DC}{AC}\Rightarrow\dfrac{ND}{12}=\dfrac{NC}{20}=\dfrac{10}{16}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ND=7,5\left(cm\right)\\NC=12,5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

c, Xét Δ DBM và Δ ABC có:

Chung \(\widehat{B}\)

\(\widehat{BDM}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)

⇒Δ DBM \(\sim\) Δ ABC(g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{BD}{AB}\Rightarrow\dfrac{MB}{20}=\dfrac{10}{12}\Rightarrow MB=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\)

Ta có: MD⊥BC, BD=DC ⇒ ΔBDC cân tại M

\(\Rightarrow MB=MC=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\)

Bài 1 nếu chứng minh cũng chỉ được góc EMD= 2 góc AEM thôi

chứng minh kiểu gì vậy