Chứng minh:
\(3^{x+1}+3^{x+2}+...+3^{x+100}^{ }\) chia hết cho 120 \(\left(x\in N\right)\)
Chứng minh: \(P=\left(3^{x+1}+3^{x+2}+...=3^{x+100}\right)⋮120\left(x\in N\right)\)
biểu thức trong ngoặc chia hết cho 3 (hiển nhiên)
ta có P = 3x (3 + 32 + 33 +...+ 3100)
=3x [3(1+3) + 33(1+3) + 35(1+3) + ... + 399(1+3)]
=4.3x(3 + 33 + 35 + ... + 399)
=4.3x [3(1+9) + 35(1+9) + 37(1+9) +... + 397(1+9)]
=40.3x(3 + 35 + 37 + ... + 397) ⋮ 40
mà [3;40] = 120 ⇒ P⋮120 (ĐPCM)
Chứng minh: \(P=\left(3^{x+1}+3^{x+2}+...=3^{x+100}\right)⋮120\left(x\in N\right)\)
P=(3x+1)+(3x+2)+(3x+3)+...+(3x+100)=3x*3+3x*32+3x*33+...+3x*3100=3x*(3+32+33+34+...+3100)
P=3x[(3+32+33+34)+(35+36+37+38)+...+(397+398+399+3100)]
P=3x[3(1+3+32+33)+35(1+3+32+33)+...+397(1+3+32+33)]
Vì 1+3+32+33=120 nên trong [ ] chia hết cho 120 => P chia hết cho 120 (vì 1 thừa số của tích chia hết cho 120 thì tích đó chia hết cho 120)
=>đpcm
Chứng minh
\(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+.......+3^{x+100
}\)Chia hết cho 120
x thuộc N
=3^x(3+3^2+3^3+3^4)+(3^x+4)(3+3^2+3^3+3^4)+...
=3^x.120+(3^x+4).120+...
=120(3^x+3^x+4...) chia hết cho 120
=>x^3+1...(đề bài) chia hết cho 120
(Một số dấu ngoặc mk thêm để cho dễ nhìn nha)
Nhớ k cho mk đó!
Chứng minh:3x+1+3x+2+3x+3+...+3x+100 chia hết cho 120 (x thuộc N)
a) Chứng minh rằng: 3^x+1+3^x+2+3^x+3+....+3^x+100 chia hết cho 120 với mọi x
$3^{x+1}+3^{x+2}+..........+3^{x+100}\\=3^x(3+3^2+.........+3^{100}$
Vì $3 \to 3^{100}$ có 100 số nên ta ghép 4 số vào 1 cặp
$\to 3^{x+1}+3^{x+2}+..........+3^{x+100}\\=3^x[(3+3^2+3^3+3^4)+......+3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100}\\=3^x[120+...+3^{96}.120] \vdots 120(đpcm)$
Cho 2 đa thức \(P\left(x\right);Q\left(x\right)\) thỏa mãn \(P\left(x^3\right)+x.Q\left(x^3\right)\) chia hết cho \(x^2+x+1\). Chứng minh rằng đa thức \(P\left(x\right)\) chia hết cho đa thức \(x-1\).
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo cùng các bạn yêu toán giúp đỡ em tham khảo với ạ.
Em cám ơn nhiều ạ!
\(x^3=x^3-1+1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1\)
\(\Rightarrow x^3\equiv1\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)
Và \(xQ\left(x^3\right)\equiv xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x^3\right)+xQ\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)+xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\) với mọi x nguyên
\(\Rightarrow P\left(1\right)+x.Q\left(1\right)\) chia hết \(x^2+x+1\) với mọi x nguyên
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)\) có nghiệm \(x=1\) hay \(P\left(x\right)\) chia hết cho \(x-1\)
Đố ai lm đc câu này đấy:
Chứng minh rằng: \(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}⋮120\left(x\in Z\right)\)
\(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}\)
\(=3^x\left(3^1+3^2+3^3+3^4\right)+...+3^{x+96}\left(3^1+3^2+3^3+3^4\right)=3^x.120+3^{x+4}.120+...+3^{x+96}.120=120\left(3^x+3^{x+4}+...+3^{x+96}\right)⋮120\)
Chứng minh rằng:A=3x+1+3x+2+...+3x+100 chia hết cho 120
cho hai đa thức với hệ số nguyên f1(x), f2(x) thoả mãn \(..f\left(x\right)=f_1\left(x^3\right)+x\cdot f_2\left(x^3\right)..\)chia hết cho \(^{x^2+x+1}\).
Chứng minh rằng \(ƯSCLN\left(f1\left(2017\right),f2\left(2017\right)\right)\ge2016...???\)
THẦY MÌNH GỢI Ý nè chứng minh f1(x) và f2(x) chia hết cho x-1 dựa vào x^3-1 chia hết cho x-1
từ đó suy ra f1(2017) và f2(2017) chia hết cho 2016 => đpcm CHỨNG MINH HỘ NHA MK KO BIẾT LÀM
bài này khó khinh lên đc mình bó tay
trước tiên ta cần chứng minh một bài toán phụ:f(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên:f(x)=anxn+an-1xn-1+....+a1x+a0
a,b là 2 số nguyên khác nhau,chứng minh f(a)-f(b) chia hết cho (a-b)
lấy f(a)-f(b) rồi ghép các hạng tử có cùng bậc là ra nka bn
áp dung:f(x)=f1(x3)-f1(1) + x.f2(X3) -x.f2(1)+f1(1)+x.f2(1) mà f1(X3)-f1(1) chia hết cho x^3-1 nên chia hết cho x2+x+1,tương tự với f2,theo giả thiết thì f(x) chia hết cho x2 +x+1 nên f1(1)+x.f2(1) chia hết cho x2 +x+1 mà f1(1)+x.f2(1) có bậc bé hơn hoặc bằng 1 nên f1(1) + xf2(1)=0
SUY RA:f1(1)=f2(1)=0
theo định lí bezout suy ra f1(x) chia hết cho x-1 và f2(x) chia hết cho x-1
bài toán đã dc giải guyết,trong lời giải có thể có chút sai sót và hơi khó hiểu nên mong các bạn góp ý và cho mình