Lại có p>q>3 nên q=3k+1, 3k+2 ( k là stn và k>0 )

Loại q=3k+1 vì nếu q=3k+1 thì p=3(k+1) chia hết cho 3 là hợp số( vô lý)

Vậy q=3k+2 nên p=3(k+1)+1

Đặt k=2m, 2m+1

Nếu k=2m thì q=3(2m+1)+1. Mà 3(2m+1) là số lẻ nên q chẵn. Mà q là số nguyên tố và q>2 nên q lẻ ( vô lý)

Vậy k=2m+1

Suy ra \(q^3+p^3=18k^3+162k^2+180k+72\)

Dễ thấy \(180k+72⋮36\)

Cần cm \(18k^3+162k^2⋮36\)

Dễ thấy \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 9 (1)

Vì m là số lẻ nên m chia 4 dư 1 hoặc 3

Xét 2 trường hợp suy ra \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 4  (2)

Từ (1),(2) và 4 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Suy ra \(18k^3+162k^2⋮36\) 

Vậy ta có điều phải chứng minh

Từ đoạn Suy ra 

Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3k+1 hoặc 3k+2. (\(k\in N\)*)

Nếu q=3k+1 thì p=q+2=3k+3. Khi đó p chia hết cho 3 nên không phải số nguyên tố (loại)

Nếu q=3k+2 thì p=q+2=3k+4. Khi đó p+q=6k+6=6(k+1)

Vì q=3k+2 là số nguyên tố nên k là số lẻ (nếu k chẵn thì q chia hết cho 2). Khi đó k có dạng 2m+1 (\(m\in N\)*)

Suy ra p+q=6(2m+1+1)=12(m+1) chia hết cho 12 (đpcm)