Theo đkđb thì $AI^2=AD.AE$. Vì vậy, nếu muốn $AI^2=DE.AE$ thì $AD=DE$ (điều này vô lý vì $AD<DE$ theo tính chất cạnh huyền trong tam giác vuông.

Hình vẽ:

Cm:a) Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{A}=\widehat{ADH}=\widehat{HEA}=90^0\)

=> ADHE là hình chữ nhật

đt DE cắt đt AH tại O

=> OA = OE

b) Ta có: OA = OE => t/giác AOE cân tại O => \(\widehat{OAE}=\widehat{OEA}\) hay \(\widehat{HAC}=\widehat{DEA}\)

Ta lại có: t/giác ABC vuông tại A => \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

           t/giác AHC vuông tại A => \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)

=> \(\widehat{B}=\widehat{HAC}\) 

mà \(\widehat{HAC}=\widehat{DEA}\) 

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{AED}\)(đpcm)

c) Gọi K là giao điểm của AI và DE

Xét t/giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến (BI = IC)

=> AI = IB = IC = 1/2BC

=> t/giác AIC cân tại I

=> \(\widehat{IAC}=\widehat{C}\) hay \(\widehat{KAE}=\widehat{C}\)

Ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\) 

mà \(\widehat{B}=\widehat{KEA}\) (cmt); \(\widehat{C}=\widehat{KAE}\)(Cmt)

=> \(\widehat{KAE}+\widehat{KEA}=90^0\)

Xét t/giác AKE có \(\widehat{KAE}+\widehat{KEA}=90^0\) => \(\widehat{AKE}=90^0\)

=> AI \(\perp\)DE

a) Xét tứ giác ADHE 

Ta có: góc A=90⁰(gt)

góc ADH=90⁰(gt)

góc EHD=90⁰(gt)

=>tứ giác ADHE là hcn

=>AH=DE(đpcm)

a: BC=BH+CH

=2+8

=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{2\cdot8}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{2\cdot10}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{8\cdot10}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH

c: ΔHDB vuông tại D 

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=HM=MB

\(\widehat{EDM}=\widehat{EDH}+\widehat{MDH}\)

\(=\widehat{EAH}+\widehat{MHD}\)

\(=90^0-\widehat{C}+\widehat{C}=90^0\)

=>DE vuông góc DM

a: Xét tứ giác ADHE có

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

nên ADHElà hình chữ nhật

=>góc AED=góc AHD=góc ABC

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên MA=MC=MB

=>góc MAC=góc MCA

=>góc MAC+góc AED=90 độ

=>AM vuông góc với DE

b: HE//AB

=>HN//AB

mà góc NAB=góc HBA

nên NHBA là hình thang cân

=>góc ANB=góc AHB=90 độ

=>BN vuông góc với AM

=>BN//DE

a: Xét tứ giác ADHE có

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường và AH=DE

=>OA=OE

b: AD*AB=AH^2

AE*AC=AH^2

Do đó: AD*AB=AE*AC

=>AD/AC=AE/AB

=>ΔADE đồng dạng với ΔACB

a: Xét tứ giác ADHE co

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM=BM=CM

ADHE là hình chữ nhật

nên góc AEH=góc ADH=góc ABC

=>góc AEH+góc MAC=90 độ

=>DE vuông góc với AM