1,Giải sử x₀ là nghiệm chung của hai pt

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0^2-\left(m+2\right)x_0+3m-1=0\left(1\right)\\x_0^2-\left(2m+3\right)x_0+3m+3=0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left(2m+3\right)x_0-\left(m+2\right)x_0+3m-1-3m-3=0\)

<=> \(x_0\left(m+1\right)-4=0\)

Do hai pt có nghiệm chung => \(x_0\in R\) => \(m\ne-1\)

<=> \(x_0=\frac{4}{m+1}\) thay vào (1) có

\(\frac{16}{\left(m+1\right)^2}-\frac{\left(m+2\right).4}{m+1}+3m-1=0\)

<=> \(\frac{16}{\left(m+1\right)^2}-\frac{4\left(m+2\right)\left(m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}+\frac{3m\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}-\frac{\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}=0\)

<=> \(16-4\left(m^2+3m+2\right)+3m\left(m^2+2m+1\right)-\left(m^2+2m+1\right)=0\)

<=> \(16-4m^2-12m-8+3m^3+6m^2+3m-m^2-2m-1=0\)

<=> \(3m^3+m^2-11m+7=0\)

<=> \(3m^3-3m^2+4m^2-4m-7m+7=0\)

<=>\(3m^2\left(m-1\right)+4m\left(m-1\right)-7\left(m-1\right)=0\)

<=> \(\left(m-1\right)\left(3m^2+4m-7\right)=0\)

<=> \(\left(m-1\right)^2\left(3m+7\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

@Nguyễn Việt Lâm

@Akai Haruma

Đồ thị hàm số \(y=f\left(\left|x\right|\right)\)

\(f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-1\right)f\left(\left|x\right|\right)-m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(\left|x\right|\right)=1\left(2\right)\\f\left(\left|x\right|\right)=-m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left(2\right)\) có hai nghiệm phân biệt nên phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình \(\left(3\right)\) có hai nghiệm phân biệt khác hai nghiệm của phương trình \(\left(2\right)\).

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-m=-3\\-1< -m< 1\\-m>1\end{matrix}\right.\)

...

Lời giải:
a. 

$f(-1)=a-b+c$

$f(-4)=16a-4b+c$

$\Rightarrow f(-4)-6f(-1)=16a-4b+c-6(a-b+c)=10a+2b-5c=0$

$\Rightarrow f(-4)=6f(-1)$

$\Rightarrow f(-1)f(-4)=f(-1).6f(-1)=6[f(-1)]^2\geq 0$ (đpcm)

b.

$f(-2)=4a-2b+c$

$f(3)=9a+3b+c$

$\Rightarrow f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0$

$\Rightarrow f(-2)=-f(3)$

$\Rightarrow f(-2)f(3)=-[f(3)]^2\leq 0$ (đpcm)

a. 

�
(
−
1
)
=
�
−
�
+
�
f(−1)=a−b+c

�
(
−
4
)
=
16
�
−
4
�
+
�
f(−4)=16a−4b+c

⇒
�
(
−
4
)
−
6
�
(
−
1
)
=
16
�
−
4
�
+
�
−
6
(
�
−
�
+
�
)
=
10
�
+
2
�
−
5
�
=
0
⇒f(−4)−6f(−1)=16a−4b+c−6(a−b+c)=10a+2b−5c=0

⇒
�
(
−
4
)
=
6
�
(
−
1
)
⇒f(−4)=6f(−1)

⇒
�
(
−
1
)
�
(
−
4
)
=
�
(
−
1
)
.
6
�
(
−
1
)
=
6
[
�
(
−
1
)
]
2
≥
0
⇒f(−1)f(−4)=f(−1).6f(−1)=6[f(−1)] 
2
 ≥0 (đpcm)

b.

�
(
−
2
)
=
4
�
−
2
�
+
�
f(−2)=4a−2b+c

�
(
3
)
=
9
�
+
3
�
+
�
f(3)=9a+3b+c

⇒
�
(
−
2
)
+
�
(
3
)
=
13
�
+
�
+
2
�
=
0
⇒f(−2)+f(3)=13a+b+2c=0

⇒
�
(
−
2
)
=
−
�
(
3
)
⇒f(−2)=−f(3)

⇒
�
(
−
2
)
�
(
3
)
=
−
[
�
(
3
)
]
2
≤
0
⇒f(−2)f(3)=−[f(3)] 
2
 ≤0 (đpcm

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

Lời giải:Đặt $A=f(1)=a+b+c; B=f(-1)=a-b+c; C=f(0)=c$

Theo đề bài: $|A|, |B|, |C|\leq 1$

\(|a|+|b|+|c|=|\frac{A+B}{2}-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|\)

\(\leq |\frac{A+B}{2}|+|-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|=|\frac{A}{2}|+|\frac{B}{2}|+|C|+|\frac{A}{2}|+|\frac{-B}{2}|+|C|\)

\(=|A|+|B|+2|C|\leq 1+1+2=4\) (đpcm)

\(f\left(1-x\right)+f\left(x\right)=\dfrac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{9}{9+3.9^x}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{3}{9^x+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=1-f\left(1-x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(cos^2x\right)=1-f\left(sin^2x\right)\)

Do đó:

\(f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)+f\left(cos^2x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)=f\left(sin^2x\right)\) (1)

Hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{9^x}{9^x+3}\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{3.9^x.ln9}{\left(9^x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow3m+\dfrac{1}{4}sinx=sin^2x\)

Đến đây chắc dễ rồi, biện luận để pt \(sin^2x-\dfrac{1}{4}sinx=3m\) có 8 nghiệm trên khoảng đã cho