Gọi F là điểm đối xứng của CC qua AA

Ta được \(AF=AC=AB\)

\(A,F,C\)thẳng hàng

\(\Rightarrow\Delta BFC\perp B\)

Ta có: \(\Delta ABC\)cân tại A(gt)

\(AD\perp BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BD=DC\)

mà \(AF=AC\)

\(\Rightarrow AD\)//\(BF\)mà \(AD=\frac{BF}{2}\)(tính chất đường trung bình)

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta BFC\perp B\)đường cao BE ta được:

\(\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{BF^2}+\frac{1}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{4AD^2}+\frac{1}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4k^2}=\frac{1}{4n^2}+\frac{1}{4m^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{k^2}=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{m^2}\left(đpcm\right)\)

#Shinobu Cừu

hix méo có ai làm đc à @@ hay là chỉ là cái lướt nhẹ qua = =

a) Xét ΔBCE và ΔFAE có 

EB=EF(gt)

\(\widehat{BEC}=\widehat{FEA}\)(hai góc đối đỉnh)

EC=EA(gt)

Do đó: ΔBCE=ΔFAE(c-g-c)

b) Xét ΔABD và ΔACD có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD(c-g-c)

Suy ra: DB=DC(hai cạnh tương ứng)

mà D,B,C thẳng hàng(gt)

nên D là trung điểm của BC

Suy ra: \(DB=\dfrac{1}{2}BC\)

mà BC=AF(ΔBCE=ΔFAE)

nên \(DB=\dfrac{1}{2}AF\)(đpcm)

c) Xét ΔABC có 

AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)

BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)

AD cắt BE tại G(gt)

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra: \(AG=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{2}{3}\cdot4.5=3\left(cm\right)\)

Bài 2: 

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{9}\)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

⇔ \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BC.BH}{BC.CH}=\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{9}\)

a: ΔADC vuông tại D

=>AD<AC

ΔBEC vuông tại E

=>BE<BC

=>AD+BE<BC+AC

b: CA<CB

=>góc CAB>gócCBA

=>90 độ-góc CAB<90 độ-góc CBA

=>góc HBA<góc HAB

=>HA<HB

a. Pytago: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\left(cm\right)\)

AD là trung tuyến ứng cạnh huyền BC nên \(AD=\dfrac{1}{2}BC=2,5\left(cm\right)\)

b. Vì \(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\) nên AMDN là hcn

Vậy AD=MN

c. ABC vuông cân A thì AD là trung tuyến cũng là p/g

Do đó AMDN là hình thoi(1)

Lại có D là trung điểm BC,DM//AC(⊥AB) nên M là trung điểm AB

Cmtt ta được N là trung điểm AC

Mà AB=AC nên AM=AC

Kết hợp (1) ta được AMDN là hình vuông

Bài 2: 

Ta có: \(\widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{DCB}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA và CD)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACD}=45^0+45^0=90^0\)

Xét tứ giác ACDB có 

CD//AB(cùng vuông góc với AC)

nên ACDB là hình thang có hai đáy là CD và AB(Định nghĩa hình thang)

Hình thang ACDB(CD//AB) có \(\widehat{CAB}=90^0\)(gt)

nên ACDB là hình thang vuông(Định nghĩa hình thang vuông)

1: Xét tứ giác AEDB có

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)

=>AEDB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB

Tâm I là trung điểm của AB

Bán kính là \(IA=\dfrac{AB}{2}\)

2: Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

\(\widehat{DBH}=\widehat{DAC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔDBH đồng dạng với ΔDAC

=>DB/DA=DH/DC

=>\(DB\cdot DC=DA\cdot DH\)

3: ABDE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ABE}=\widehat{ABN}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ABN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

\(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

Do đó: \(\widehat{ABN}=\widehat{AMN}\)

=>\(\widehat{HDE}=\widehat{HMN}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//MN