xy+3x-y=-4

=>x(y+3)-y-3=-7

=>(x-1)(y+3)=-7

=>\(\left(x-1\right)\left(y+3\right)=1\cdot\left(-7\right)=\left(-7\right)\cdot1=\left(-1\right)\cdot7=7\cdot\left(-1\right)\)

=>\(\left(x-1;y+3\right)\in\left\{\left(1;-7\right);\left(-7;1\right);\left(-1;7\right);\left(7;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(2;-10\right);\left(-6;-2\right);\left(0;4\right);\left(8;-4\right)\right\}\)

Ta có:

\(xy+3x-y=-4\)

\(\Rightarrow x\left(y+3\right)-y=-7+3\)

\(\Rightarrow x\left(y+3\right)-y-3=-7\)

\(\Rightarrow x\left(y+3\right)-\left(y+3\right)=-7\)

\(\Rightarrow\left(y+3\right)\left(x-1\right)=-7=1\cdot-7=-7\cdot1=-1\cdot7=7\cdot-1\) 

Ta có bảng sau: 

Vậy: ... 

x².(y+1) + y = 30

x². (y+1) + (y+1) = 29

(y+1).(x²+1) = 29 = 1 . 29 = 29 . 1

\(\Leftrightarrow4.25^x-4.5^x+1=4y^4+8y^3+12y^2+16y+41\)

\(\Leftrightarrow\left(2.5^x-1\right)^2=4y^4+8y^3+12y^2+16y+41\)

Ta có:

\(4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+2\right)^2+8y+37>\left(2y^2+2y+2\right)^2\)

\(4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+5\right)^2+4\left(y-1\right)\left(3y+4\right)\ge\left(2y^2+2y+5\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+3\right)^2\\4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+4\right)^2\\4y^4+8y^3+12y^2+16y+41=\left(2y^2+2y+5\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2-y-8=0\left(\text{không có nghiệm nguyên}\right)\\8y^2-25=0\left(\text{không có nghiệm nguyên}\right)\\\left(y-1\right)\left(3y+4\right)=0\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow y=1\)

Thế vào pt ban đầu: \(25^x-5^x=20\)

Đặt \(5^x=t>0\Rightarrow t^2-t-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\\t=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5^x=5\Rightarrow x=1\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+22xy+141=4\left(x^2+6xy+9y^2\right)+7\left(x+3y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+11\right)^2+20=4\left(x+3y\right)^2+7\left(x+3y\right)\)

\(\Leftrightarrow16\left(xy+11\right)^2+320=64\left(x+3y\right)^2+112\left(x+3y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(4xy+44\right)^2+369=\left(8x+24y+7\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(8x+24y-4xy-37\right)\left(8x+24y+4xy+51\right)=369\)

Pt ước số

Đặt \(a=p^q+7q^p\)

Nếu p; q đều bằng 2 \(\Rightarrow a=2^2+7.2^2\) là hợp số (ktm)

Nếu p; q cùng lớn hơn 2 \(\Rightarrow p^q\) và \(q^p\) đều lẻ

\(\Rightarrow a=p^q+7q^p\) là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số (ktm)

\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q phải bằng 2, số còn lại là SNT lẻ

TH1: \(p=2\Rightarrow a=2^q+7.q^2\)

- Nếu \(q=3\Rightarrow a=2^3+7.3^2=71\) là SNT (thỏa mãn)

- Nếu \(q>3\Rightarrow q^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow7q^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(2^q=2^{2k+1}=2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow a=2^q+7.q^2\equiv2+1\left(mod3\right)\Rightarrow a⋮3\) là hợp số (ktm)

TH2: \(q=2\Rightarrow a=p^2+7.2^p\)

- Nếu \(p=3\Rightarrow a=3^2+7.2^3=65\) ko phải SNT (ktm)

- Nếu \(p>3\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(7.2^p=7.2^{2k+1}=14.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+7.2^p⋮3\) là hợp số (ktm)

Vậy \(\left(p;q\right)=\left(2;3\right)\) là cặp SNT duy nhất thỏa mãn yêu cầu

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+xy=\left(xy\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2=xy\left(xy-1\right)\)

Do \(xy\left(xy-1\right)\) là 2 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng là SCP khi và chỉ khi: \(\left[{}\begin{matrix}xy=0\\xy=1\end{matrix}\right.\) 

TH1: \(xy=0\Rightarrow4x^2+9y^2=0\Rightarrow x=y=0\)

TH2: \(xy=1\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(-1;-1\right)\) thế vào pt đầu đều ko thỏa mãn