ÁP dụng BĐT  Bu nhi a cốp xki với ba số ta đc :

 \(\left(1.\text{ }\sqrt{x+y}+1\sqrt{y+z}+1.\sqrt{x+z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(\left(\sqrt{x+y}\right)^2+\left(\sqrt{y+z}\right)^2+\left(\sqrt{z+x}\right)^2\right)\)

\(\le3\left(x+y+y+z+x+z\right)=3.2.\left(x+y+z\right)=6\)

=> \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\le\sqrt{6}\) ( ĐPCM) 

bạn sử dụng bất đẳng thức : 3 ( a\(^2\)+ b\(^2\)+ c\(^2\)) \(\le\)( a + b + c )\(^2\)

rồi thay : a = x + y ; b = y + z ; c = z + x là được

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\cdot2\cdot\left(x+y+z\right)\)

\(=3\cdot2\cdot1=6=VP^2\)

Xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa

Đặt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}};\dfrac{1}{\sqrt{y}};\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}=1\)

Ta cần chứng minh: \(ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\)

Thật vậy, ta có:

\(1=\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\) (đpcm)

Áp dụng Bđt \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Ta có:

\(A^2\le6\left(x+y+z\right)=6\)

\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{6}\)(Đpcm)

1933 -109