1) Xét rằng x > 7 <=> A < 0

Lại xét x < 7 thì mẫu là một số nguyên dương. P/s A có tử và mẫu đều là số dương, mà tử lại bất biến

A(max) <=> mẫu 7 - x nhỏ nhất <=> 7 - x = 1 => x = 7 - 1 = 6 <=> A = 1

Từ những điều trên thì A sẽ có GTLN khi và chỉ khi x = 6

1.

Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)

\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản

\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản

2.

Giả thiết tương đương:

\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)

Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)

Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)

\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)

a, `2/(x-1) in ZZ`.

`=> 2 vdots x - 1`

`=> x-1 in Ư(2)`

`=> x - 1 in {+-1, +-2}`.

`=> x - 1 = 1 => x = 2`.

`=> x - 1 = -1 => x = 0`.

`=> x - 1 = -2 => x = -1`.

`=> x - 1 = 2 => x = 3`.

Vậy `x = 2, 0, - 1, 3`.

b, `4/(2x-1) in ZZ`

`=> 4 vdots 2x - 1`.

`=> 2x - 1 in Ư(4)`

Vì `2x vdots 2 => 2x - 1 cancel vdots 2`

`=> 2x - 1 in {+-1}`

`=> 2x - 1 = -1 => x = 0`.

`=> 2x - 1 = 1 => x = 1`

Vậy `x = 0,1`.

c, `(x+3)/(x-1) in ZZ`.

`=> x + 3 vdots x - 1`

`=> x - 1 + 4 vdots x - 1`.

`=> 4 vdots x-1`

`=> x -1 in Ư(4)`

`=> x - 1 in{+-1, +-2, +-4}`

`x - 1  = 1 => x = 2`.

`x - 1 = -1 => x = 0`.

`x - 1 = 2 =>x = 3`.

`x - 1 = -2 => x = -1`.

`x - 1 = 4 => x = 5`.

`x - 1 = -4 => x = -3`.

Vậy `x = 2, 0 , +-1, 5, -3`.

a, \(x-1\inƯ\left(-3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

b, \(2x-1\inƯ\left(-4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

c, \(\dfrac{3\left(x-1\right)+10}{x-1}=3+\dfrac{10}{x-1}\Rightarrow x-1\inƯ\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)

d, \(\dfrac{4\left(x-3\right)+3}{-\left(x-3\right)}=-4-\dfrac{3}{x+3}\Rightarrow x+3\inƯ\left(-3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Bổ sung phần c và d luôn:

c, C = \(\dfrac{2}{5}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2-1}{2x^2+3}\) = \(\dfrac{2}{5}\)

\(\Leftrightarrow\) 5(x² - 1) = 2(2x² + 3)

\(\Leftrightarrow\) 5x² - 5 = 4x² + 6

\(\Leftrightarrow\) x² = 11

\(\Leftrightarrow\) x² - 11 = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - \(\sqrt{11}\))(x + \(\sqrt{11}\)) = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x-\sqrt{11}=0\\x+\sqrt{11}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{11}\left(TM\right)\\x=-\sqrt{11}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

d, Ta có: \(\dfrac{x^2-1}{2x^2+3}\) = \(\dfrac{x^2+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}}{2\left(x^2+\dfrac{3}{2}\right)}\) = \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{5}{4\left(x^2+\dfrac{3}{2}\right)}\)

C nguyên \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{5}{4\left(x^2+\dfrac{3}{2}\right)}\) nguyên \(\Leftrightarrow\) 5 \(⋮\) 4(x² + \(\dfrac{3}{2}\))

\(\Leftrightarrow\) 4(x² + \(\dfrac{3}{2}\)) \(\in\) Ư(5)

Xét các TH:

4(x² + \(\dfrac{3}{2}\)) = 5 \(\Leftrightarrow\) x² = \(\dfrac{-1}{4}\) \(\Leftrightarrow\) x² + \(\dfrac{1}{4}\) = 0 (Vô nghiệm)

4(x² + \(\dfrac{3}{2}\)) = -5 \(\Leftrightarrow\) x² = \(\dfrac{-11}{4}\) \(\Leftrightarrow\) x² + \(\dfrac{11}{4}\) = 0 (Vô nghiệm)

4(x² + \(\dfrac{3}{2}\)) = 1 \(\Leftrightarrow\) x² = \(\dfrac{-5}{4}\) \(\Leftrightarrow\) x² + \(\dfrac{5}{4}\) = 0 (Vô nghiệm)

4(x² + \(\dfrac{3}{2}\)) = -1 \(\Leftrightarrow\) x² = \(\dfrac{-7}{4}\) \(\Leftrightarrow\) x² + \(\dfrac{7}{4}\) = 0 (Vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của x \(\in\) Z thỏa mãn C \(\in\) Z

Chúc bn học tốt! (Ko bt đề sai hay ko nữa :v)

3. Gọi d là ƯCLN(2n + 3, 4n + 8), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Mà 2n + 3 không chia hết cho 2

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2n+3,4n+8\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản.

a) ĐK: \(x-5\ne0\Leftrightarrow x\ne5\)

b)

ĐK:  \(\left(\dfrac{1}{2}x+4\right)\ne0\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x\ne-4\\ \Leftrightarrow x\ne-8\)

c)ĐK:

 \(-2x-10\ne0\\ \Leftrightarrow-2x\ne10\\ \Leftrightarrow x\ne-5\)

a) ĐKXĐ: \(x\ne5\)

b) ĐKXĐ: \(x\ne-8\)

c) ĐKXĐ: \(x\ne-5\)